4. 假設檢定

數學中常在證明，甚至還有人以為，數學所做的事，就是證明。一命題若經證明為真，便毫無例外地成立。例如，直角三角形中，兩股平方和等於斜邊平方。這是著名的畢氏定理，大家中學時便學過了，此命題早在兩千多年前便已證出。由於未曾發現證明有誤，因此任何人若想找反例，看是否有那一直角三角形，兩股平方和不等於斜邊平方，必然徒勞無功。

數學之外，隨機世界中，真相常難明，既無法證明為真，也無法證明為偽。球隊比賽前，常以投擲銅板決定先後，只是銅板是否為公正？恐怕不論投擲多少次，皆不能判定出現正面的機率，確實就是0.5，而不是其他值。地球壽命究竟有多長？有天文學家估計46億年，甚至亦有估計地球壽命剩下75.9億年。這些值究竟有多可靠？真的都只有天曉得。科學家遂慣常以“證實”取代“證明”。媒體上經常刊登科學上的各種證實。如

科學家證實，曾瀕臨絕種的座頭鯨，數量已逐漸回升；

德國科學家證實，喝綠茶可以減肥；

一項研究證實，喝咖啡之後的24小時內的記憶力，相對平常會大幅提高。

除了上述這類讓人半信半疑的證實外，亦有

科學家證實南極臭氧層破洞開始在治癒；

科學家證實念佛持咒有神奇的力量，

這類讓人無從想像，或匪夷所思的證實。只能當做是一個個的假設，有人接受，有人不接受。生活裡便是充滿著無法辨明真偽的假設，就看那些是你能接受，那些是你不能接受，或者說拒絕的。只是接受的依據為何？除憑藉主觀外，能否設計出一套公平合理的機制？

做決策公平合理是必要的。兩人分一個蛋糕，如何讓雙方都覺得不吃虧？這是著名的分蛋糕問題。有一簡單的解法，就是由一人分，然後另一人先挑。當然你可以抬槓，說負責分的那位，會謹慎地分，不讓有某一塊較大，而因他後拿，因此所拿到的，乃他認為的一半；但先挑的那位，會以為他在兩塊中，選了比較大，或至少一樣大的一塊，因此他拿到的，乃他認為會大於或等於一半的一塊。但蛋糕明明就是一個，不會兩人各自拿到的，加起來超過一個。無論如何，這種分法，使兩人都認為自己得到的，沒有比較小，應能說是一種公平的方法。

被宣判死刑者，一旦執法，就起手無回，因此不可不慎。唐宋八大家之一的歐陽修(1007-1072)，在追念其父母的“瀧岡阡表”一文中，提到其父為死囚“求其生而不得，則死者與我皆無恨也”。對已被判死刑者，歐陽修之父，會再仔細檢視案子，看是否有對該死囚有利的證據，之前卻被忽視者。若真的找不到才作罷，判決定讞。這時死囚也能理解歐陽修之父，已盡力為他找一線生機卻不可得，於是“死者與我皆無恨也”。早在1千年前，歐陽修之父，可說便已具備現代法學裡所重視之“無罪推定”的精神：

被告未經審判證明有罪確定前，推定其為無罪。犯罪事實應依證據認定之，無證據不得認定犯罪事實。

這是我國刑事訴訟法第154條，所謂“無罪推定原則”。被檢察官起訴的被告，即使眾人皆曰可殺，法庭上仍先假設被告是無辜的。在無罪的前題下，若證據夠充分，方能判定有罪。反之，法官只要認定檢察官起訴的內容，罪證不足，即可宣判無罪，不必去調查。必須一提的是，前述條文裡的“證明”一詞，與數學裡的證明意義並不同，而與“證實”較同義。

在我國刑事案件經檢察官起訴後，由法院進行審理。若最終被判無罪，檢察官可說是灰頭土臉。因不但白忙一場，長期下來，若定罪率若太低，檢察官也難免被認為不嚴謹，會濫行起訴。因此對起訴的案子，總是檢察官認為已收集了相當夠的證據，有信心可使被告被定罪。但法官並不買帳，仍假設被告無罪，逐一檢視檢察官提供的證據，是否夠強。法官倒也不是懷疑檢察官存心整被告，隨便弄些資料來充數。而是只有站在被告立場，從對其有利的觀點來審理，才能避免冤屈。否則一旦定罪執行刑罰後，若日後發現其實是誤判，即使有冤獄賠償，但人生不能倒帶，當事人可能牢也坐了，名譽也毀了，甚至還家破人亡，這些都不是金錢所能彌補的。

對於被起訴者，檢察官的目的，毫無疑義，是要定他的罪，但審判的機制，是先假設他無罪。科學家若相信喝綠茶可以減肥，想做個檢定，該先假設什麼呢？有如無罪推定，也應是先假設喝綠茶不能減肥，然後若有夠高比率的人，喝後變瘦了，便能推翻原假設，即證實喝綠茶可以減肥。而為了避免干擾因子，並非隨意找人來進行實驗，實驗過程也有若干規範，這屬於統計學裡實驗設計(experimental design)的內容，在此不擬討論。為了檢定某假設能否接受，統計學裡，設計了一套合理的“假設檢定”(hypothesis testing)的流程。一開始要先確定二假設，即虛無假設(null hypothesis)，與對立假設(alternative hypothesis)。虛無假設通常表現況，或傾向推翻(或說拒絕)的情況；至於對立假設則通常表現況外之一可能性，且傾向接受的。雖想推翻虛無假設，卻儘量保護它，不讓它輕易被推翻。如此一旦推翻，才有說服力。所以，當虛無假設被拒絕時，是有相當的信心該假設不成立。反之，若虛無假設被接受時，通常並不表就相信它為真了，而是表證據尚不足以推翻它，就繼續觀察。那些被法院宣判無罪開釋者，常高興地說“司法還我清白”。其實司法並未宣佈他清白，司法只是沒判他有罪而已。假設他明明有罪，在被判無罪後，若自此改邪歸正，那便還好；若心存僥倖，以為本領高明，能騙過法律，之後仍幹些不法勾當，則夜路走多，總有出大紕漏，因而被定罪的一日。不輕易將現況推翻，乃是一較科學的精神。朝令夕改並不該鼓勵，如此在訂定各種規章時，才會更謹慎、更斟酌，因知一旦通過後，就不易更改了。

附帶一提，屢有人好奇，統計與機率的差別何在？我們以兩個情況來說明。首先，假設有某公正銅板，獨立地投擲20次，試求出現17個正面的機率。眾所皆知，不必管是否真有一個公正銅板，也不必實際去投擲，就能把指定事件的機率算出。此為機率問題，在給定的前提下，去推導結果。再看第二個情況。若有人獨立地投擲某銅板20次，結果出現17個正面，由於正面數過多，遂懷疑該銅板並非公正，出現正面的機率可能大於0.5，於是去執行一個假設檢定。這便是統計問題，由觀測到的結果，去檢驗前提是否可接受。

對隨機現象做決策，不誤判乃幾乎不可能。例如，若懷疑某銅板較易出現正面，令p表銅板出現正面的機率，則可將虛無假設取為p = 0.5，對立假設取為p > 0.5。只是即使銅板實際出現正面的機率為0.55，比0.5大，投擲100次，也可能正反面各得50次。這時合理的推論，當然是接受虛無假設，但這就誤判了。至此，讀者也許可以明白，虛無假設何以名之為“虛無”了。天下本無事，庸人自擾之。明明是不相信銅板為公正，才去進行檢定，大費周章後，卻仍接受銅板為公正，可說白忙一場。英文null之意義為空的。接受虛無假設，乃接受一空的假設。試想，法官若判定被檢察官起訴的嫌犯無罪，消費者保護會若宣佈經檢驗某食品成份合格，都表示整個過程沒有建設性，多此一舉。檢察官得重新偵辦案子了，而消費者保護會說不定會被認為擾民了，破壞店家的商譽。

為了簡便，我們以H₀及H_a，分別表虛無假設及對立假設。有兩種可能的誤判。其一是虛無假設為真卻拒絕，稱此為第一型錯誤(Type I error)；其二是對立假設為真卻拒絕，稱此為第二型錯誤(Type II error)。以法院審判為例。在無罪推定之原則下，以H₀表被起訴者無罪，H_a表被起訴者有罪。若被起訴者明明無罪，卻被判有罪，便犯了第一型錯誤；而若實際有罪卻被判無罪，便犯了第二型錯誤。通常犯第一型錯誤比較嚴重。因無罪若被判有罪，便可能坐牢、受處罰，或至少名譽受損，這種錯誤較難彌補。一般會先設定一個第一型錯誤機率值之上限α，稱為顯著水準(significance level)，α為一較小的值，常取成0.05，0.01，或0.001等，也可以是其他值。在α給定後，決定何時拒絕H₀，即決定拒絕域。拒絕域的選取，若能使第二型錯誤的機率值β最小，當然最好。此時的拒絕域，稱為顯著水準不超過α下之最佳拒絕域。對某些情況，統計學裡有一套找到最佳拒絕域的方法。

既然犯第一型錯誤較嚴重，那α是否取得愈小愈好？一般而言，α愈小β將愈大，無法兩全。仍以法庭審判為例。若悲天憫人，寧可錯放1千不錯罰1人，對證據的審核高度嚴格，則很多實際有罪者，將連自己都難以置信地被判無罪釋放了。所以α取得過小，不見得就好。宜視不同狀況，斟酌取適當大小的α。

現考慮檢定銅板出現正面的機率p。設H₀：p = 0.5，H_a：p≠0.5。即擬檢定此是否為一公正銅板。持續投擲銅板n次，以X表所得正面數，則X有參數n，p之二項分佈，即B(n,p) 分佈。當H₀為真，即p = 0.5，則X較可能落在期望值n/2的附近。所以直觀上，當X較偏離n/2，便該拒絕H₀。於是取拒絕域為{|X-n/2| ≥ c}={X ≥ n/2+c，或X ≤ n/2-c}，其中c將由n及α來決定。

現取n=100，α=0.05。由於n較大時，二項分佈的機率值不太好算，以常態分佈來近似，而c須為整數，得c為11。如此拒絕域={X ≥ 61，或X ≤ 39}，此時實際的α值約為0.0358。對離散型分佈，有時無法取到剛好能達到所給α值之拒絕域。若取α=0.01，則得c=14。如此拒絕域={X ≥ 64，或X ≤ 36}，且實際的α值約為0.007。在相同的樣本數n之下，α值取得愈小，表H₀愈被保護，因而拒絕域將愈小，即愈不容易拒絕H₀。當α=0.01，投擲銅板100次，若得到63個正面，比在H₀(銅板為公正)下的期望值50多了13，即超過26%，感覺上很偏差，但由於63並未落在拒絕域，因此仍得接受此銅板為公正。沒辦法，那是α取太小的關係，如果α取大一點，如α=0.05，則同樣得到63個正面，就要拒絕銅板為公正了。

在相同的α下，如何能避免得到的正面數很偏差時，還不能拒絕銅板為公正？解決之道是加大n。假設取n=10,000，則在H₀下，X之期望值=5,000。則當α=0.01時，將得c=130，因而拒絕域={X ≥ 5,130，或X ≤ 4,870}。此時正面數X，只要比5,000偏離逾130/5,000=2.6%，就得拒絕H₀了。

我們再介紹p-值。由於不同的人所取之α值可能不同，在實務裡，當得到一觀測值後，人們常會給出p-值(p-value)。所謂p-值，即會得到比觀測值，至少同樣極端之事件的機率值。對前述檢定銅板是否公正之例，設n=100，且觀測到X=63。所得正面數，至少偏離期望值50有13之事件為{X ≥ 63，或X ≤ 37}。則p-值便為上述事件之機率，約為0.0124。得到此p-值後便知，只要給定的α比0.0124小，就不能拒絕H₀，而若給定的α比0.0124大，就得拒絕H₀。

曾有某公司的劣油案，一審被判無罪，引起輿論嘩然，有些對判決不滿意的人，遂提出“法律上無罪推定原則，不該適用食品和藥物等受管制行業”的建議。只是我們已反覆說明，無罪推定原則，仍是現實社會，於做決策時，一較合理的原則。同理，假設檢定裡，現況仍是該被優先保護的。另外，在前述例子中，我們怎麼都沒求第二型錯誤的機率?第二型錯誤的機率，有時比較複雜些，在此暫不討論。

最後來看“顯著”一詞的由來。顯著與否，乃依發生機率的大小。發生機率較大的事件若發生，乃屬稀鬆平常，無須大驚小怪。但若小機率事件發生，此事件便屬顯著，顯著事件自然引人注意。至於怎樣的機率算小？0.05或0.01？當然視情況而定，不能一概而論。所以得先訂個標準，亦即給定顯著水準，依此以決定拒絕域。因而觀測值若落在拒絕域，便稱檢定結果為顯著，且接受H_a；否則便是不顯著，且接受H₀。

統計是門入世的學問。統計學裡提供一套假設檢定的程序，以為做推論時之依據。此程序並非在判定事情的真偽，而是用來做為擬採對策之指引。我們僅對假設檢定給一粗淺的介紹，想進一步認識此題材者，可參考一般統計學教科書。了解假設檢定的內涵後，將發現它不過是將人們平常做抉擇的思維，有系統地給出一執行的流程。