3. 統計邏輯
誤差大小如何掌握？隨機世界中不乏資料，而只要有資料，統計便能發揮功能，進而掌握誤差大小。統計分析對資料的仰賴，有如製磚需要黏土。那統計又是什麼？
統計其實有很多面相，但有人說統計與考古的原理類似。首先，都在挖掘，或者說在探勘。考古是挖掘古物，統計則是挖掘資料。只是天地這麼大，往那裡開挖，才能挖出有價值的古物？要先研讀文獻，找出古物較可能之落腳處。同樣地，資料浩如煙海，欲有效率地收集到有用的資料，也是得先好好規劃。另外，考古所得，有物無文，是人來講故事，說幾千年前如何如何，把已過了很久遠的事，帶到眼前。再度，挖掘到的資料，是冰冷的，並沒有說話，是人在替它們說話，讓它們活躍起來，告訴我們一些有意義的資訊。至於說什麼話呢？
要知統計的目的，並不在探索真相，因真相可能永遠未明，真相不妨就留給上帝。統計主要的目的，乃是在做決策。即告訴人們怎樣做最好，其依據便是所收集到的資料。而所謂最好，得先訂定評比的準則，否則沒有永遠的最佳策略。舉例而言，一隻靜止不動的錶，與一隻慢1分鐘的錶，何者較準？大部分的人會以為是後者，因任何時刻都只差1分鐘，前者則常差很多。但也有人以為前者較準，因每天有兩個時刻完全準確，後者則無一時刻是準的。所以，欲評比策略優劣，得先確定究竟如何評比。只是在運用統計前，須具備一些基本的邏輯，否則學再多方法，及得到什麼結果都沒用，因很可能會誤用統計，反而比不懂統計還糟。底下來看至少有那些邏輯，是該先弄清楚的。
首先來看因果關係。大家受數學的薰陶較久，對數學中“若p則q”的因果關係較清楚，不過我們仍扼要說明一下。假設條件p成立，必導致結果q成立，則p稱為命題“若p則q”的充分條件，q則稱為必要條件。充分條件就是因，必要條件就是果，有因便會有果。例如，若x>3，則x2>9。有“x>3”這個因，將得到“x2>9”這個果。反過來就不一定對了，由“x2>9”，並無法導致“x>3”必成立，因也有可能“x<-3”。數學裡經常在證明，往往就是在確定某因果關係為真。只是在現實世界中，是否有因果關係，常很難判定。底下給幾個例子。
一項調查顯示(見徐仕美譯(2016)頁227)，北美洲的阿茲海默症(Alzheimer's disease)病人，有三分之二是女性。聽起來很驚人，但這是否表示女性該擔憂了，因她們比男性更容易得阿茲海默症？那可不必然，看這類報導常要很謹慎，不能率爾就自行建立一因果關係。要知女性平均壽命比男性長，而通常阿茲海默症，發生在人的年紀較大時，即老年是阿茲海默症的最大風險因子。因此在最容易罹病的年齡群(其中女性佔多數)中，罹病者以女性居多，乃屬合理。那些70歲，沒罹患阿茲海默症，但死於心臟病的男性，如果能繼續活下去，說不定便罹病了。事實上，2014年，美國阿茲海默症協會(Alzheimer's Association)指出，目前尚無證據顯示，任一年齡層中的女性，比男性更可能失智。所以，雖罹病者中，女性佔三分之二，男性佔三分之一，看起來比例懸殊，卻不能就此驟下結論，說女性較易罹病，因其中有一不可忽視的“干擾因素”(confounding factor)─壽命。性別與罹患阿茲海默症相關性很高，數據提供的資訊只到這裡。但若將其解讀成女性較易罹病，這便是人說的，而非數據說的。除非有其他更可靠的證據，否則不能這樣說。
再看一例。2016年6月7日，聯合報有一則標題是“高教育程度的人 比較容易磨牙？”之報導：
高教育程度的人比較容易磨牙嗎？奇美醫院口腔顎面外科醫師林哲毅表示，根據國外的調查確實是這樣的，但原因並不是很清楚，可能與壓力有關係，但也可能是高教育者，磨牙後就醫的比例會比較高。…。
磨牙症是指易咬緊牙齒或磨牙，患者會不自覺地在白天咬緊牙齒，或在夜間睡眠時磨動牙齒。雖數據顯示，磨牙就醫的病患中，高教育程度者，所佔比率較高。但這不表教育程度較高的人，有較易磨牙的傾向，此因果關係不見得成立。真實的情況說不定是，高教育程度者，因工作職務也可能較高，壓力遂可能較大，因而不自覺地以磨牙舒緩壓力。所以，是壓力大造成易磨牙，而與教育程度的高低關係不大。另一可能性是，那些受過較多教育的人，比較懂得照顧自己，了解健康之重要，當發現不對勁的磨牙，較會去看醫生。因此，若想知道磨牙的真實原因，得進一步探討才行。
這種相關性高，但其間沒有因果關係的例子處處可見。例如，依據統計，當可樂銷量大時，醫院腸胃科的門診人數也較多。難道喝可樂對腸胃有傷？事實上，可樂銷量大，往往是天氣炎熱時；當天氣炎熱，又使食物易腐敗，導致易吃壞肚子。氣溫為一干擾因素。
我們再提那一著名的“尿布與啤酒”事件。美國百貨連鎖店Wal-Mart檢視顧客的購物清單，所謂購物籃分析(market basket analysis)，發現在有尿布或啤酒的帳單裡，二者同時出現的比例很高。但二者的使用對象完全不同，究竟是怎麼回事？原來在家中有嬰兒的時期，先生大抵會較顧家，週末便儘量待在家中協助照料，少往外面跑。居家男人，不少就以看電視打發時間，這時喝喝啤酒輕鬆一下，乃一樂也。因而當先生受妻子之託，採買尿布時，常也順便拿些啤酒。弄清楚原委後，Wal-Mart遂將看起來毫不相干的尿布與啤酒放在鄰近，結果二者的銷售量同時增加。
大家常講大數據，藉助統計，一般而言，只能判定二因子間的相關性高或低，或者說，能找出相關性較高的因子，以供進一步探究。只是統計畢竟不是萬能，通常不易判定二因子間，是否有因果關係。因果關係之確定，得經由其他途徑。千萬不可由兩個變數的相關性很高，就跳到其間有因果關係的推論。
隨機性也是一不容易理解的概念。相對頻率，為一種常用的對機率之解釋，因而頻率也屢被用來詮釋機率。由於不夠嚴謹，遂讓有些初學者，對機率產生誤解。假設有一公正銅板，即出現正面的機率為1/2。1/2的倒數是2，有些人便想成“每(投擲)兩次出現一次正面”，隨機性不見了。即使學過一些機率的人，也可能會有這樣的誤解。持續投擲前述銅板，令X表出現第一個正面所需之投擲數。則X之期望值E(X)=2。口語常便說成“平均每(投擲)兩次出現一次正面”，這是正確的。只是既然是口語，有人便覺可講得簡單些，遂說成“每(投擲)兩次出現一次正面”，即省掉“平均”二字，這就不對了。至於對機率較有概念的人，有些也會以為，就算不是每(投擲)兩次出現一次正面，只要投擲數(偶數)多些，便應很可能有半數是正面。這並不正確。實際去計算，投擲2次，出現1正1反的機率為1/2；投擲10次，出現5正5反的機率為252/1,024，約為0.246，不到1/4；投擲100次，出現50正50反的機率又更小了，約為0.08。事實上，投擲數(偶數)愈多，愈不容易出現正反面數各半。
這種出現次數偏離預期，當可能的結果愈多，將會愈明顯。以42取6的樂透彩為例。每週開2期，1年大致開104期，3年就以開312期計。每期開1組6個頭獎號碼，3年共開出6×312=1,872個號碼。則1至42，每號碼出現次數的期望值為1,872/42，約為44.57。但觀測結果，各號碼出現的頻率，常會差異很大。最多與最少的，差異高達30次都不稀奇，反而較少見到每號碼均出現44次左右。這本是正常的現象，卻常有人因而質疑各號碼並非隨機產生。隨機下的不均勻是正常的。教室講台上有個籤筒，老師上課以抽籤的方式，點學生回答問題。每取出一隻籤後放回。若一學期下來，每位學生被問的次數均相同，學生可不要就誤以為老師果真是隨機抽籤，而是該懷疑，籤根本非隨機抽取。
條件機率亦常令人感到迷惑，我們以測謊為例。測謊機的準確度有多高？有人說七成，也有人說九成。有人迷信測謊，以為人很難能騙過測謊機，有人則認為測謊機並沒那麼可靠，在審判中絕不能拿來當證據。準確度不妨就以九成計好了。假設某公司發現有某項業務機密外洩，因無人承認，負責安全的主管，遂提議以測謊來找出洩密者。這樣做妥當嗎？
假設經手該項業務的人員共有100人，其中有1人洩密。因不準的機率為0.1，經測謊後，99位無辜者中，平均有9.9位會顯示洩密；唯一那位洩密者，有0.9的機率會被測出，有0.1的機率未被測出，即平均有0.9位會顯示洩密。所以測畢後，平均共有10.8(=9.9+0.9)位顯示洩密。但其中其實僅有1位洩密，即測謊後每位可疑者，只有1/10.8的機率洩密，此值才約0.09259，不到0.1的機率。此與一開始信誓旦旦的宣稱，測謊之準確度高達九成，有很大差異。更不要說，有時真正犯罪者，較有經驗，能打敗測謊機；且有些無辜者，較容易緊張，反而通不過測謊機，那誤差就更大了。測謊的效果，絕不可高估。最後，如果洩密者根本不在那100人中，洩密乃經由其他管道，則測謊後，將產生10位無辜的可疑者。要屈打成招嗎？恐將難以收場了。
由機率0.9降至0.09259，便涉及條件機率。機率0.9的意義是P(顯示洩密|實際洩密)=0.9，且P(顯示未洩密|實際未洩密)=0.9。但我們有興趣的，其實是P(實際洩密|顯示洩密)=？而這與P(顯示洩密|實際洩密)，其差異常不可以道里計。機率值會變，是機率的特性。給定某條件後，機率值將可能會改變。即對二事件A與B，P(A|B)不一定等於P(A)。這與數學中強調不變性，如3一直就是3，2一直就是2，乃完全不同。而P(A|B)與P(B|A)此二條件機率，其值也可能差異很大。統計裡，每有一資訊產生，也就是條件改變了，則機率值往往隨之而變，這是不可不知的。
參考文獻
1. 徐仕美譯(2016)。記憶的盡頭(The End of Memory: A Natural History of Aging and Alzheimer’s)。
