2. 誤差難免

基於合理的懷疑，在“12怒漢”中，12位陪審員，從開始一面倒的認為被告有罪，產生大逆轉。原本千夫所指的少年，也就被判無罪釋放。結局固然快樂，但真相是否就此大白？其實仍屬未知。因雖不能說買刀者都準備要殺人，但買的刀與凶刀同一款式，仍是一不容忽視的疑點。至於跛腳老先生，跟住對面女士的證詞，是有瑕疵。不過也可能是兩個缺乏社會經驗的人，為了強化證詞之可信度，對所見情境，畫蛇添足下，反而產生漏洞，變成難以採信。這種情況，並非不尋常。甚至還有因為多事，卻成自證己罪者。清末劉鶚(1857-1909)的“老殘遊記”一書，在“初編”之第15至20回，有一“剛弼斷案”的故事，便為一例。

在山東齊河縣的齊東鎮，發生一起賈府一家大小13口，被人用毒藥謀害的命案，震驚全縣。魏氏父女，因涉嫌被收押。山東撫臺，特地指派一向以清廉著稱的剛弼來查案。魏家管事，見主人吃冤枉官司，求助一胡姓舉人。胡舉人與剛弼相識，覺得這不過小事一樁，欣然接受委託。見到了剛弼，胡舉人先奉上魏家管事交給他的1千兩銀票。剛弼於了解來意後，說1條人命本值1千兩銀子，13條共1萬3千。但既然胡舉人來，看他面上，可減半算，就6千5百兩。且銀子不急，只須先寫個憑據。還要胡舉人向魏家管事說明，6千5百兩是怎麼得出來的。胡舉人連連答應，隨後寫了一封信，連同管事提供將支付5千5百兩(已送了1千兩)的憑據，一起送至縣衙門。

隔日剛弼升堂會審，拿出1千兩銀票、5千5百兩的憑據，以及胡舉人的信，要魏氏父女招供。一切環環相扣，斷定13個人，就是他們所殺害，不招就用刑。待最後水落石出，找到真凶，還了魏氏父女清白，剛弼尚百思不解。如果明明無辜，有什麼必要行賄？還就同意6千5百兩銀子，沒有爭辯根本連1人也未殺害，豈來500乘上13？

書中透過一位白太守來說穿此迷團，其實並沒什麼太深奧的道理，不過就是“鄉下人沒見識”。書上說，魏家管事是個“愚忠的老實人”，眼見主人吃了冤枉官司，擔心被屈打成招，情急之下，自做主張奔走籌款，以營救主人。只要能救出主人，一切聽命行事，根本未多想是否被設計了。而雖是舉人，飽讀詩書，卻不過是冬烘先生一個。見出面助人有效，欣喜之下，修書感謝，順便結個文字緣，不料反留下企圖買通官員的證據。

不時會聽到人們抱怨“豈有此理！”或訝異地說“怎麼可能？”顯然天下事，並非都盡合理，而不可能的事，也常發生。如同人們所認知，統計學之一主要原理，是從所得的結果，來驗證前提是否可接受。當看到不合理的現象發生，的確該提高警覺，探究到底什麼原因，才造成此現象出現。但卻不可如前述剛弼，過度執所見到的不合理，認定就只有一個原因，而不再想其他可能性。至於所謂不可能，其實就是小機率事件。而不論事件的機率多小，只要觀測次數夠多，就不必訝異其發生。樂透彩中頭獎的機率夠小了吧！怎麼有人中？作弊嗎？未必，賣出那麼多張，頭獎開出來，就幾乎是必然了。

在Lewis Carroll(1832-1898)所著“愛麗思夢遊仙境”(Alice's Adventures in Wonderland)一書中，愛麗思(Alice)曾說“Sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast.”早餐前就看到6件不可能的事？怎麼會這樣？愛麗思認為一點都不難，只要多練習即可。各式各樣的小機率事件那麼多，若細加留意，總會發現有某件冒出來。有那些被視為不可能，卻發生的事件？事實上處處都是，底下給個例子。

NBA(National Basketball Association)是北美男子職業籃球組織。擁有30支球隊，分屬東西兩聯盟(conference)。每聯盟有3個分組(division)，每個分組有5支球隊。總共30支球隊中，有29隊位於美國，另1隊來自加拿大。NBA每年的正式賽季，從11月初開始。先進行例行賽(regular season)，每支球隊都要完成82場比賽。隔年4月底，開始打季後賽(playoffs)。每聯盟的15支球隊中，皆有8隊能參加季後賽，包括例行賽3支分組冠軍(由勝率決定)，及另挑出勝率最高的5隊。有超過一半的球隊能打季後賽，不算很難，值得一拼。因此各支球隊，在每年的例行賽中，一個目標，就是打進季後賽。一旦這個目標達到，便有如那年的表現及格了。季後賽先在兩聯盟裡，各自強弱抓隊廝殺，採7戰4勝淘汰制。3輪後，兩支聯盟冠軍產生，爭奪年度總冠軍。能獲總冠軍，那真是莫大的榮耀，可幾十年講個不停。但也相當不容易，季後賽得闖過4關，共贏16場。

2015-16 NBA例行賽，最強的球隊，應屬西區的金州勇士隊(Golden State Warriors，“金州”是加州的別名)。勇士隊前一年才獲得睽違整整40年的總冠軍(上一次奪冠是1974-75球季)。氣勢延續下來，這一年的例行賽，戰績一路長紅，倍受矚目。最終取得73勝9敗，勝率超過8成9，打破20年前，1995-96年芝加哥公牛隊(Chicago Bulls)所創，72勝10敗的記錄。勇士這年還創下很多紀錄，包括成為NBA史上，第一支在單季例行賽裡，沒有連敗過的球隊，及第一支在單季例行賽裡，投進1,000顆以上三分球的球隊。光是控球後衛史蒂芬柯瑞(Stephen Curry，1988-)一人，便投進402顆，也是NBA個人於單季例行賽中，投進最多三分球的紀錄。這樣超強的球隊，除了查爾斯巴克利(Charles Barkley，1963-)，那位一向口無遮攔的電視籃球評論員外，恐怕無人不看好他們能連莊總冠軍。

季後賽首輪，勇士以4比1擊敗休士頓火箭隊(Houston Rockets)，次輪再度以4比1終結波特蘭拓荒者隊(Portland Trail Blazers)，順利打進西區冠軍賽，對手是奧克拉荷馬市雷霆隊(Oklahoma City Thunder）。首戰雷霆隊贏了，第二戰勇士隊扳回一城，雙方1比1平手。接著兩戰，整年例行賽不曾連敗過的勇士隊，居然跌破眾人眼鏡，連敗兩場，讓雷霆隊取得3勝1敗的聽牌優勢。數據會說話，例行賽輝煌的戰績被拋開了，媒體拿出過去的統計資料分析。勇士隊的衛冕之路，不要說被看成亮起紅燈、陷入困境，甚至有人認為已命懸一線了。球運豈能每年都那麼好？雷霆隊的支持者興奮莫名，勇士隊的支持者則覺怎麼可能輸成這樣？至於查爾斯巴克利，該可以得意了。

NBA分區冠軍賽史上，之前共出現過39次3比1的戰局。而領先的球隊，最終有37隊拿下分區冠軍。其中有20隊，是再賽1場，領先者就以4勝1敗終結比賽了。僅有的兩次逆轉，都發生在東區，一次是1979年，一次是1981年，都至少是25年前的事了。不妙的是，勇士隊所隸屬的西區，冠軍賽則未曾有過由1比3翻盤成功之例。39分之2，僅比5%略多一點的機會。而如果單看西區，則過去成功0次，因此機會是0。處在1勝3敗大幅落後的局面，多少反映雙方實力有差，若說大勢已去，算是持平之論，畢竟數據會說話。還有人宣稱勇士隊翻盤的機率，不到4%，他們有不同的依據。NBA自從將季後賽改為7戰4勝制後，各輪都計，球隊陷入1勝3敗的絕境者，總共有232次，其中只有9次扭轉奇蹟。232分之9，約0.03879。那一不到4%的值，就是這麼來的。

不論機率是0.05、0.04，或是0，大部分關心NBA球賽的人，都認為勇士隊不可能贏了。世事難料，不可能的事，又一次發生了。勇士隊有如浴火重生，連贏3場，以4勝3敗，獲得西區冠軍，取得與東區冠軍克里夫蘭騎士隊(Cleveland Cavaliers)，角逐總冠軍的資格。成為NBA西區冠軍爭奪戰史上，第一支在1勝3敗之劣勢下，逆轉的球隊。也讓原本充滿希望的雷霆隊，黯然神傷地打包回府，結束球季。

有些較具機率背景的人，可能覺得前述求機率的過程，並不可取。我們常在談機率，機率究竟是什麼？眾所周知，機率有幾種不同的意義。第一種是所謂古典機率，即以相同的可能性來解釋機率。進行一項隨機試驗，以S表所有可能的結果之集合，S稱為樣本空間，當然不可以是空集合，也不可以有無限多個元素。S的任一子集合，稱為一事件，S中的元素個數以|S|表之。想求一事件A的機率，其元素個數以|A|表之。由於假設相同的可能性，故每一可能的結果，發生之機率皆相同，即為1/|S|。因此A之機率，顯然便定義為P(A)=|A| / |S|。諸如玩撲克牌，及玩樂透彩等，都屬於古典機率適用的範圍。

重複投擲一銅板n次，得到k個正面，則將k/n視為銅板出現正面的機率。這種以事件發生次數的相對頻率，來解釋機率，是一常有的作法，稱為以頻率來解釋機率，又稱客觀機率，適用在可重複觀測的事件。所謂客觀，乃由於就是依觀測到的結果，沒有滲入個人的偏好。A君準備出門，其母抬頭望天，只見烏雲密佈，覺得下雨的機率有8成，力勸A君帶傘。A君卻不以為然，他判斷烏雲應就快散去了，下雨的機率頂多1成，雨傘大可不必。這便是主觀機率，也是一種常用來解釋機率的方式，一般針對無法重複觀測的事件。由於各人對於同一事件的機率值，能有不同的認定，因而稱之為主觀機率。不過雖說主觀，往往也會依據過去客觀的事實，不見得都僅憑主觀好惡，來決定機率值。

除了上述三種對機率的解釋，1933年，公理化的方式誕生了，即以機率空間來解釋機率。也就是在一抽象的系統上，藉助幾條公理，引進機率。此後，便不必經由一投擲銅板或骰子等情境，才能討論機率。但若真有一隨機試驗，則必能在一適當的機率空間上，定義機率。

古典機率、客觀機率，及主觀機率，常交錯著使用。當沒有更多的資訊下，常只能採古典機率。如有人敲門，是男是女？若一無所知，只好認為是男是女的機率相同，即皆為1/2。但若平日屢有訪客，而過去的經驗顯示，敲門者有7成是女性，則大抵便會認為男女的機率，各為0.3及0.7。另外，若聽到的敲門聲很大，有人說不定便以為，有0.8的機率是男生，因而女生的機率便為0.2。

回到勇士隊對決雷霆隊，於1勝3敗落居下風後，人們依據過去的資料，以預測勇士隊逆轉的機率。此為合理的統計思維。只是對於處在1勝3敗落後的情況，雖有過去39次分區冠軍賽，及全部232次季後賽的數據，但年度不同、球隊不同、對手不同、裁判不同，即使同一球隊，不同年度的球員或教練，也可能不盡相同。故不論39或232次，皆不屬重複觀測的事件。反對者因而認為，此處並不適用以頻率來解釋機率。這樣說當然極有道理，觀念正確。正如若每次投擲不同的銅板，則正面出現的相對頻率，豈能用來估計下一次投擲，會出現正面的機率？但與其認為，由於有逆轉及不逆轉兩種結果，因而逆轉的機率為1/2(即採古典機率)，倒不妨採取客觀機率的想法。即基於過去數十年，類似情況的比賽結果，來判斷逆轉之機率。這比起胡亂猜測，畢竟仍客觀許多。

有趣的是，當第6戰雷霆隊輸球，與勇士隊打成3比3平手，這時不同的預測值出現了。過去季後賽的資料顯示，主場球隊的第7戰成績是100勝24敗；另一方面，第6戰主場落敗的球隊，第7戰的成績是12勝24敗。由於第6戰及第7戰的主場，分別屬於雷霆隊及勇士隊，因此前述兩筆數據，便分別導致勇士隊奪得西區冠軍的機率，為100/124及24/36。二值皆遠比處於1比3落後時，對勇士隊逆轉機率之預測，高出不少。怎會如此？沒什麼，這不過就是條件機率。當情況改變時，機率值常隨之而變。機率值會變，乃機率之一特色。

不時會聽到人們抱怨“豈有此理！”或訝異地說“怎麼可能？”顯然天下事，並非都盡合理。而被視為不可能的事，也屢屢就是發生了。崇尚合理性，棄不可能如敝屣，通常並沒有不對，但卻無法保證決策必然正確。連不合理，連不可能的事，都會發生，那判斷怎會永不失誤？投擲一銅板，除非兩面皆相同，否則豈會每次都說對那面朝上？在隨機世界中，誤差就是難以避免。我們所能做的，就是以機率的方式，來掌握誤差的大小。