例5. 承上例。試分別對(1)α=0.05，(2)α=0.11，(3)α=0.2，在{X≥c}形式的拒絕域中，找出最佳者。

解. 當c=4時，第一型錯誤的機率為

P(X≥4|p=0.5)=C(6,4)×0.5⁶+C(6,5)×0.5⁶+C(6,6)×0.5⁶=0.34375>0.2。

當c=5時，例2中已給出第一型錯誤的機率為0.109375>0.05。當c=6時，例4中已給出第一型錯誤的機率為0.015625≤0.05。故對(1)，{X≥c}形式的拒絕域中，最佳者為{X=6}。對(2)及(3)的α，{X≥c}形式的拒絕域中，最佳者皆為{X≥5}。

對8個{X≥c}形式的拒絕域，我們可按α分別落在的區間，找出最佳拒絕域。此部分留給讀者自行完成。另外，亦可有諸如{X=1，3，5}的拒絕域。可以想見，這種不會是太好的拒絕域。

例6. 設α=0.11，且取{X≥c}形式的最佳拒絕域。試分別對X=4，5，6，決定該接受H₀或H_a？

解. 由例5，當α=0.11時，{X≥c}形式的最佳拒絕域為{X≥5}。若X=4，因並未落在拒絕域，故接受H₀。至於X=5，及X=6，皆落在拒絕域，故皆拒絕H₀且接受H_a。

在上述幾個例子中，由於只是展示用，不擬讓計算過於繁瑣，故銅板之投擲次數均取為少少的6次。實際執行檢定時，投擲次數通常會取得大些，一方面降低第二型錯誤的機率，一方面可有較多不同的第一型錯誤之機率的拒絕域。

我們亦可藉助幾何分佈來執行檢定，特別是當p較小時。取H₀：p=0.01，H_a：p=0.03。隨機投擲銅枚，直至出現1個正面便停止。令Y表總共投擲的次數。直觀上Y較小時會拒絕H₀，而接受H_a。Y有Ge(p)分佈，即參數p之幾何分佈，且

P(Y=k)=p(1-p)^k-1，k=1，2，…。

又

P(Y≤k)=1-(1-p)^k，k=1，2，…，

P(Y>k)=(1-p)^k，k=1，2，…，

P(Y≥k)=(1-p)^k-1，k=1，2，…，

P(Y<k)=1-(1-p)^k-1，k=1，2，…。

例7. 取拒絕域為{Y≤k}。對α=0.05，求出最大的整數k，並分別求此時兩型錯誤的機率。

解. 第一型錯誤的機率須滿足

P(Y≤k|p=0.01)=1-(1-0.01)^k=1-0.99^k≤0.05。

解出k≤5.10…。故最大的整數k=5。此時第一型錯誤的機率為

1-0.99⁵≈0.0490。

至於第二型錯誤的機率為

P(Y>5|p=0.03)=(1-0.03)⁵=0.97⁵≈0.8587。

所以，若取α=0.05，及拒絕域{Y≤5}，則當觀測到Y=4，便拒絕H₀，且接受H_a；若得Y=6，便接受H₀。另外，亦可反過來，考慮H₀：p=0.03，H_a：p=0.01。直觀上，此時Y較大時該拒絕H₀，而接受H_a。見下例。

例8. 取拒絕域為{Y≥k}。對α=0.05，求出最小的整數k，並分別求此時兩型錯誤的機率。

解. 第一型錯誤的機率須滿足

P(Y≥k|p=0.03)=(1-0.03)^k-1=0.97^k-1≤0.05。

解此k≥99.35…。故最小的整數k=100，即拒絕域為{Y≥100}。此時第一型錯誤的機率為

0.97⁹⁹≈0.0490<0.05。

至於第二型錯誤的機率為

P(Y<100|p=0.01)=1-(1-0.01)⁹⁹=1-0.99⁹⁹≈0.6303。

最後來看，亦可以二項分佈來檢定例7中的p。取H₀：p=0.01，H_a：p=0.03。再度隨機投擲銅板6次，令X表出現正面的次數，且取{X≥c}形式的拒絕域。因

P(X≥1|p=0.01)=1-P(X=0|p=0.01)=1-0.99⁶≈0.0585，

故只要0.0586<α<1，皆可取拒絕域為{X≥1}。此時第二型錯誤的機率為

P(X=0|p=0.03)=0.97⁶≈0.8330。

又因

P(X≥2|p=0.01)=1-P(X=0|p=0.01)-P(X=1|p=0.01)=1-0.99⁶-6×0.01¹×0.99⁵≈0.00146，

故若α=0.05，則可取拒絕域為{X≥2}。此時第二型錯誤的機率為

P(X≤1|p=0.03)=P(X=0|p=0.03)+P(X=1|p=0.03)=0.97⁶+6×0.03¹×0.97⁵≈0.9875。

第二型錯誤的機率可說相當大。

至於以二項分佈來檢定例8中的p，就留給讀者自行完成。