國立高雄大學統計學研究所
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主題:機率與統計在高中(四)─1
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2015/5/2 下午 03:38:39

4 高中數學假設檢定之例

假設檢定涵蓋的範圍相當廣泛,還有專書整本都講假設檢定。在高中數學裡,雖只宜給些基本的介紹,但為利於教學仍得要有夠多的變化。主要用來檢定機率值,且主要涉及兩個相當簡單的分佈,即二項分佈與幾何分佈,應是一合理的安排。

人們常在談機率,機率到底是什麼?每個人心中所想並不盡相同,但大致有下述幾種不同的意義。先看第一種。骰子有6個面,何以常就將每個面出現的機率都當成1/6?原因乃假設骰子為公正,亦即每個面出現的機率都相同,於是就各1/6。一副撲克牌有52張,玩梭哈遊戲,每人各發5張,求某君拿到4A的機率。條件不足,怎麼算呢?其實並沒那麼複雜。假設撲克牌洗均勻了,則每一種組合出現的機率便可假設皆相同。而共有C(52,5)種組合,所以每一種組合出現的機率者都是1/C(52,5)。又5張牌中有4A,共有48種可能,故所求為48/C(52,5)。在前述這類例子中,都是以相同的可能性來解釋機率。先看共有幾種可能出現的結果,當然得有限才行,且每種出現的機率皆假設相同。這種機率模式,又稱古典模式。雖說古典,當沒有其他資訊時,至今仍常採用譬如說,某君參加一項面試,5位只錄取1位,他環顧一下,覺得每人都差不多,遂認為自己錄取的機率為1/5。其次看第二種意義。某支職棒隊有位打擊好手,記錄顯示其打擊率為0.352。在一關鍵時刻,輪到他上場打擊,只要揮出安打球隊便贏了。他獲安打的機率為何?不少人以為是0.352。但也有人很樂觀賭該選手一定擊出安打。要知機率的意義,並無法由少數幾次的結果來評斷。若是長期觀看球賽,便會體會0.352為一合理的答案這便是頻率的解釋,適用於可重覆觀測的事件,以發生次數除以觀測次數,也就是事件發生次數的相對頻率,來代表機率。諸如有些專家所給出婦女懷孕生雙胞胎的機率等,大抵是源自於頻率之想法。再來看第三種意義。某男生想追一心儀的女孩,先評估追上的機率,認為有0.7。這0.7的機率如何產生?雖有衡量雙方的條件,及兩人平常的互動情形,但顯然是相當主觀的,這便是對機率主觀的解釋。相較於主觀,頻率的解釋,算是客觀多了,所以又稱客觀的解釋。

以上三種,大致是長期以來,人們對機率的解釋。二十世紀以後,如同以公理化的方式定義實數系統,一套經由公理化的方式,以定義機率的模式產生了,詳情可查閱一般機率論的書。

p表某一銅板投擲後出現正面之機率。可以因銅板有兩個面,而以為p=0.5;也可因投擲多次後,發現正面出現的相對頻率為0.5,而得p=0.5;也可主觀上就認定p=0.5。對一事件,不論以那種方式定義其發生的機率,只要是如銅板的投擲,可以重覆觀測,便能對發生機率,做一假設檢定。底下就以銅板為例。

有人懷疑p不是0.5,而可能是0.6,想做一檢定。遂取H0p=0.5Hap=0.6。隨機投擲銅板6次,令X表出現正面的次數。因p愈大,愈容易出現正面,所以直觀上X較大時,會拒絕H0,而接受Ha。故拒絕域常會取成{Xc}的形式,其中c=01267

1. 取拒絕域為{X≥4}。分別求兩型錯誤的機率

. p=0.5XB(6,0.5)分佈。當p=0.6XB(6,0.6)分佈。故第一型錯誤的機率為

P(X≥4|p=0.5)=C(6,4)×0.56+C(6,5)×0.56+C(6,6)×0.56=0.34375

至於第二型錯誤的機率為

P(X≤3|p=0.6)=C(6,0)×0.46+C(6,1)×0.61×0.45+C(6,2)×0.62×0.44+C(6,3)×0.63×0.43=0.45568

在上例中,可看出第一型錯誤的機率超過0.3,不算太小,第二型錯誤的機率則更大,超過0.4。下例取較小的拒絕域,以為比較。

2. 取拒絕域為{X≥5},重做上題。

. 第一型錯誤的機率為

P(X≥5|p=0.5)=C(6,5)×0.56+C(6,6)×0.56=0.109375

至於第二型錯誤的機率為

P(X≤4|p=0.6)=C(6,0)×0.46+C(6,1)×0.61×0.45+C(6,2)×0.62×0.44+C(6,3)×0.63×0.43+C(6,4)×0.64×0.42=0.76672

在例2中,雖第一型錯誤的機率較例1中的降低,但第二型錯誤的機率卻更大了,這是常見的情況。

3. 取拒絕域為{X≤4},重做上例。

. 第一型錯誤的機率為

P(X≤4|p=0.5)=C(6,0)×0.56+C(6,1)×0.56+C(6,2)×0.56+C(6,3)×0.56+C(6,4)×0.56=0.890625

至於第二型錯誤的機率為

P(X≥5|p=0.6)=C(6,5)×0.65×0.41+C(6,6)×0.66=0.23328

在上例中,X值較小時反而拒絕p=0.5,接受p=0.6,這樣的拒絕域並不合理,因此導致第一型錯誤的機率高達0.89多。但第二型錯誤的機率卻降低了。又由例2知,{X≥5}為給定α=0.11下之一拒絕域。但對α=0.11,尚有其他拒絕域,見下例。

4. (1)試證拒絕域若取為{X=6}{X=0},或{X≤1},則第一型錯誤的機率皆不超過0.11(2)對前述3個,及{X≥5}4個第一型錯誤的機率不超過0.11之拒絕域,求出第二型錯誤的機率最小者。

(1). P(X=6|p=0.5)=C(6,6)×0.56=0.015625<0.11

P(X=0|p=0.5)=C(6,0)×0.56=0.015625<0.11

P(X≤1|p=0.5)=C(6,0)×0.56+C(6,1)×0.56=0.109375<0.11

3個拒絕域皆使第一型錯誤的機率不超過0.11

(2). 首先,在例2中已求出

P(X≤4|p=0.6)=0.76672

其次,

P(X≤5|p=0.6)=1-P(X=6|p=0.6)=1-C(6,6)×0.66=0.953344

P(X≥1|p=0.6)=1-P(X=0|p=0.6)=1-C(6,0)×0.46=0.995904

最後,

P(X≥2|p=0.6)=1-P(X=0|p=0.6)-P(X=1|p=0.6)=1-C(6,0)×0.46-C(6,1)×0.61×0.45=0.95904

4個拒絕域中,使第二型錯誤的機率最小者為{X≥5}

上例的結果是不難猜測到的。首先,如前所述,對於此處之H0Ha,直觀上,合理的拒絕域有{Xc}的形式,其中c=01267。當c愈大,表拒絕域愈小,如此第一型錯誤的機率愈小,且第二型錯誤的機率愈大。若c=0,表必拒絕H0,因此第一型錯誤的機率為1,且第二型錯誤的機率為0;至於c=7,表拒絕域為空集合,即永不拒絕H0,因此第一型錯誤的機率為0,且第二型錯誤的機率為1。對其餘的c值,兩型錯誤的機率皆介於01之間。若取{Xc}形式的拒絕域,則對一給定的α,存在一c,使第一型錯誤的機率,最接近但不超過α。對拒絕域最大者,其接受域顯然最小,故此時第二型錯誤的機率,為在α下最小。即得α下最佳的{Xc}形式之拒絕域。事實上,這就是α下的最佳拒絕域,不過此處不證明。

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