國立高雄大學統計學研究所
最新消息 本所簡介 師資介紹 開設課程 教師成果 學生表現 學術演講 入學管道 學生園地 心在南方 表格下載 活動集錦 網路資源 關於我們
本站首頁 本校首頁 英文版
:::心在南方  
主題:機率與統計在高中(三)
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2015/4/28 下午 03:47:24

3 假設檢定

信賴區間自高中數學移出後,是否須加進什麼主題?什麼都不加自然是一個選項。這選項其實並不壞,因學習最怕的是被教壞,而非學太少。要知統計學的內涵並不易吸收,連很多基本概念都有點深。即使在大學裡,一般認為統計學比微積分還難教。因諸如微分及積分等,都有物理意義,只要藉助圖形,很容易便能說明。但在統計學中,連期望值都很難解釋清楚。所以統計學家,對於將機率與統計引進高中,多半興趣缺缺。但有些熱心中小學數學教育的數學家,常覺得不確定性很重要,以為中小學生該多學些機率與統計。因此一旦拿掉信賴區間,會為高中數學產生一缺口,而忐忑不安。若真得補個主題,那就是假設檢定了。

對統計學略有概念者,獲知這樣的建議,可能會感到驚訝。因在大學的統計學課程裡,學生視假設檢定比信賴區間難多了。至於過去排斥信賴區間的高中數學教師,曉得這是刪除信賴區間後的代價,說不定將改變主意了。因好不容易才弄懂信賴區間,怎麼要換個更難的主題進來?真是前門拒虎,後門進狼。

首先,企圖在高中數學有限的篇幅中,將信賴區間及相關的題材都交待清楚,幾乎是不可能的任務。從一開始的中央極限定理,即使學養豐富的高中數學教師,對課本中的圖示法,便常百思不解。以高度表示機率,屬於離散型之二項分佈的直方圖,如何有辨法趨近至以面積表示機率,屬於連續型之常態分佈的機率密度函數之圖形?實在沒有必要讓高中師生陷入這種困境。而且,就算真弄懂圖示法後又如何?英雄無用武之地,對了解後續的信賴區間,乃毫無幫助。要知高中數學裡,連機率的涵義,都一向未曾細究,那信心水準之意義,怎可能講明白?那些自以為已能掌握信賴區間之內涵的中學教師,恐怕有極高的比例,只是教熟而已。既然教師難以講解、學生難以吸收,且日後用到的機會不大,整個高中階段信賴區間的學習,可說完全是浪費。在高中數學裡,這是一連雞肋都稱不上的主題,棄之不必惋惜。

是有一些原因支持我們將假設檢定放進高中數學。首先,其概念遠比信賴區間容易,也更有用。但最重要的是,假設檢定原本就是人們做決策時常採的一種思維,相當直觀。事實上,如果去翻閱大學統計學的教科,將發現不少是將信賴區間的章節,置於假設檢定之後。因學完假設檢定後,信賴區間便水到渠成了。一旦高中數學引進假設檢定,尚可用來檢驗機率值是否合理。如此機率從上游的定義,到下游的檢驗,便有一套完整的體系。學生將更易於了解機率的意義,進而理解隨機性的內涵。能弄清楚機率與隨機性的意義,高中機率與統計的教學,便算成功了。

設某款汽車,汽油每1公升可行駛14公里,問20公升可行駛幾公里?答案當然是280公里。你不必多想車子是否能如此省油,且能1公升14公里維持不變。這是數學問題對於所給的假設,接受便是,不必有其他想法。但若有某汽車商,宣稱該公司的某款汽車,汽油每1公升平均可行駛14公里,則說不定會被消費者檢舉廣告不實,因他們所買的該款車,耗油多了。

數學裡常給假設,在某些假設下,做些推導或證明。在真實的人生裡,可難以靠著假設走天下。數學裡可假設426的樂透彩,頭獎號碼為隨機產生,問開出的頭獎號碼有連號之機率。對彩券迷,卻有不少就是不相信中獎全憑機運,他們下注時,一向精心地挑選號碼。真的沒有明牌嗎?令人好奇。很多人想瘦身,琳琅滿目的方法,不知何者可信?某減肥藥的代理商,找來很多瘦身成功者現身說法,個個服藥後,兩星期內就至少減5公斤。效果真有那麼好?雖然心動,難免仍半信半疑。鯨類中最大的座頭鯨(humpback whale),由於濫捕,數量逐漸降低,曾瀕臨絕種。Barlow, et al. (2011)一文宣稱,近年來因保育成功,數量已慢慢回升。座頭鯨生活在大海裡,既無法全抓起來數,如何能確定增加?

很多時候,就是難以證明所述為真或為偽。法庭裡也一樣,被起訴者究竟是清白或有罪?檢察官及辯護律師,皆掌握一些對己方有利的證據。雖號稱我心如秤,由判決最後常只好依法官投票決定,就知連法官的意見都不得一致。數學中處處是證明,但在各行各業裡,經常面對的是無法判定真偽之情境。真相如何,往往只有天得。但上天比法官更不語,人們只能自行決定要接受那一選擇。這種真偽難辨的情況,日常生活中亦屢遭遇。例如,早上出門需要帶傘嗎?氣象局的天氣預報裡,除溫度外,亦有降雨機率。機率才10%,傘可以不帶吧!等等,過去公佈降雨機率10%的日子,似乎常下雨,讓人淋了一身雨。氣象局的 10%,是否都低估?令人存疑。但會不會是人們對沒帶傘卻下雨,印象比較深?氣象局的預測,還是可信。有人信有人不信,只是可能永遠無法證明10%的機率,是否正確。

處在此隨機的世界,很多事都說不得準。一切都是假設,端看你接受那一個?如何做出決定?人們常說不可先射箭再畫靶,先入為主總是無法讓人心服。所以如何接受,宜比照今日法官判案的原則,即採無罪推定。被起訴之涉嫌收賄官員,明明千夫所指,法官卻會先假設他無罪、是無辜的。在無罪的假設下,何以一再配合廠商修改規格?銀行戶頭何以有多筆巨款匯入?這很不尋常,被起訴者得好好說明。而舉證之所在,敗訴之所在。若解釋不清,被判有罪就怨不得人了。

不尋常的事件,或說顯著事件,乃指發生機率很小的事件。顯著事件若發生,會引人注意。尋常的事件,即發生機率不算低的事件,其發生自然不會令人太在意。譬如說,一早發現系辦公室前夜失竊,查看監視器,發現某生半夜1點走往系辦公室,這很不尋常,該找此生來問問。假設檢定的想法,就是在無罪推定的原則下,如果某顯著事件發生,那原本的假設,就可放棄了。至於多小的機率才算顯著?乃視情況而定。若是食品添加物超過的含量,5%的發生機率都不算小,要給廠商警惕;若是死刑的判決,連0.01%誤判的機率都覺得太大,畢竟人命關天。

法官會不會誤判?當然會,包青天只存在小說或戲劇裡。會有什麼樣的誤判?有兩類。第一類是無罪卻被判有罪,第二類是有罪卻被判無罪。民主時代,相當注重人權,通常第一類誤判被視為較嚴重。雖兩類誤判都不應該發生,都須儘量減少,但通常就是很難將兩類誤判的機率同時降低。想想如果過度把關第一類誤判,則實際有罪,卻由於證據不夠強,因而被縱放的,將大幅度增加,這並非好事;反之,若過度把關第二類誤判,則將導致寧可錯殺一千,不可放過一人的後果,製造出無數冤屈。

統計學裡,便依以上所述,無罪推定之客觀思維,發展出一套假設檢定的架構。在此架構中,有兩個假設,其中一個是虛無假設(null hypothesis),以H0表之,另一個是對立假設(alternative hypothesis),以Ha表之。前者通常表現況,或我們傾向不相信的;後者則通常表我們傾向相信的。依所取的樣本,來決定接受虛無假設或對立假設。虛無假設為真,卻接受對立假設,稱為第一型錯誤;對立假設為真,卻接受虛無假設,稱為第二型錯誤。先設定一能容忍的第一型錯誤之機率,以α表之。常取的α值為0.010.05,或0.1等。給定α後,便要決定拒絕域,即決定何時拒絕虛無假設而接受對立假設。就好像拿到相同的數據,可有不同的推論,對相同的α,不同的人可給出不同的拒絕域。在同一α下,最理想的狀況是,找到使第二型錯誤的機率最小之拒絕域,此稱為最佳拒絕域。那些以為假設檢定的主題很難弄懂者,往往是對找最佳拒絕域心有餘悸。不過在很多情況下,憑直觀所決定的拒絕域,便是最佳拒絕域。至於虛無假設命名的由來,乃是因那根本是一空的假設。試想如果產品明明合格,主管的政府單位,卻懷疑其成分有問題,非要抽樣來檢驗,最後卻宣佈該產品合格,廠商不罵擾民、損害商譽才怪。接受虛無假設,表示白忙一場,天下本無事,庸人自擾之。虛無假設是執行檢定者,一點都不想接受的假設。

科學家不時宣佈一些新發現。如接觸殺蟲劑會使人罹患帕金森氏症的機率增加,過胖的中年人罹患失智症的風險較低等。到底增加或減少,憑藉的依據,可說就是執行一項假設檢定後的推論。人們經常在做決策,決定該接受那一選項?往住是依假設檢定的思維。假設檢定是一適合讓國民提早學習的統計方法。想稍進一步了解其內容的讀者,可參考黃文璋(2004)(2005)二文。

參考文獻

1. 黃文璋(2004). 統計學裡無罪推定的精神. 科學發展月刊, 383 (200411月號): 68-73.

2. 黃文璋(2005). 統計顯著性. 數學傳播季刊, 29(4): 29-38.

3. Barlow, J., Calambokidis, J., Falcone, E. A., Baker, C. S., Burdin, A. M., Clapham, P. J., Ford, J. K. B., Gabriele, C. M., LeDuc, R., Mattila, D. K., Quinn II, T. J., Rojas-Bracho, L., Straley, J. M., Taylor, B. L., Urbán R. J., Wade, P., Weller, D., Witteveen, B. H. and Yamaguchi, M. (2011). Humpback whale abundance in the North Pacific estimated by photographic capture-recapture with bias correction from simulation studies. Marine Mammal Science, 27: 793-818.

   暫無回應
 回本區首頁 
  回應總數0  
 
 
  下一頁  
  
 
我要回應
姓 名: 回應前,請先註冊登入
E-mail:
內 容:
驗證碼:  (2UFF
 
 
:::
 
*

地  址:811高雄市楠梓區高雄大學路700號
電  話:07-5919362 傳真:07-5919360 e-mail: stat@nuk.edu.tw
更新日期:2024/3/28 下午 01:15:41

2003/10/20起第 8917692 位訪客
*