國立高雄大學統計研究所-心在南方

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主題：機率與統計在高中(一)

發表者：黃文璋　Email:huangwj@nuk.edu.tw

日期：2015/4/20 下午 08:47:18

1 前言

目前的高中數學課本，其編寫是依據99 學年度實施之“普通高級中學課程綱要”(簡稱99課綱)，這是由95學年度實施之“普通高級中學課程暫行綱要”(簡稱95暫綱)修訂而成。課綱每隔幾年會修訂一次，歷來的課綱，在教育部的網站上皆可查到。在99課綱裡，必修分數學I、II、III，及IV，各4學分，分別在高一上、下學期，及高二上、下學期修習。選修則分標準課程、基礎課程、統整課程，及進階課程等四類。對選修數學課程，99課綱裡，僅規範標準課程的綱要。自然組有數甲I，及數甲II，各4學分，而社會組有數乙I，及數乙II，各3學分，分別在高三上、下學期修習。這是各高中必會開設的，因屬於指定科目考試(簡稱指考)的測驗範圍。至於其餘三類選修課程的內容，由各校自訂。但畢竟升學至上，既然指考不考，則會開設的學校，應不至於太多。

99課綱裡，包含那些機率與統計的內容？數學II中有四個主題，其中有三個與機率統計相關，見表1。數學甲I有兩個主題，其中第一個為機率與統計，見表2。另外，數學乙I亦有兩個主題，其中第一個仍為機率與統計，見表3。假設每冊的每一主題之分量約略相等，則機率與統計在6冊高中數學裡占了1.25冊。有多少百分比？對自然組，因每學期皆4學分，故約占20.83%；至於社會組，因數學乙I、II各3學分，故約占20.45%，比重都不算低。99課綱裡中，機率與統計的眾子題裡，就是“抽樣與統計推論”那一子題，其內容之一的“常態分布、信賴區間與信心水準的解讀”，幾年來一直讓高中師生有不小的困擾。

至88課綱，皆無“常態分布、信賴區間與信心水準的解讀”。此內容是自95暫綱起，才放進高中數學的。同時放進的，還有“交叉分析”，這乃一完全不該在高中數學裡出現的題材，見黃文璋(2010)，幸好在99課綱中刪除了。在99課綱的附錄裡，對前述“解讀”，有如下說明：

高中程度的統計推論只做隨機變數期望值的估計，它的背後理論是中央極限定理。要介紹中央極限定理，就需要引入常態分布。此部分僅做通識性的介紹，以活動方式建立學生對於中央極限定理的直觀。

對一固定的信心水準，給出信賴區間公式，再讓學生以亂數表模擬或實驗投擲正面出現機率為p的銅板n次，代入信賴區間公式，以說明信心水準的意涵；並以此解讀，何以大多數的學生所得的信賴區間都會涵蓋p？

95暫綱中，對於“解讀”，就已有類似上述的說明。雖於黃文璋(2007)一文，我們已指出該說明不但不妥，且可能會誤導。但令人遺憾的是，99課綱中仍保留此說明，只是加以修正而已。

如黃文璋(2015)一文所指出，對於中央極限定理，雖不少人能琅琅上口，但其中大多是一知半解。事實上，中央極限定理，是為了講授信賴區間而引進高中數學的。此定理高中生有能力接受嗎？各大學碩士班甄試招生考試的面試，短短幾分鐘能問些什麼？說明何謂中央極限定理，是統計學研究所面試時，常會出現的一道題目。參加面試的大四生，即使大學就讀數學系或統計學系，曾修過幾門機率或統計的課程，對統計產生興趣，準備繼續深造，都還常將中央極限定理講得零零落落。這樣的題材，怎會成為高中數學的內容？

為因應十二年國民基本教育(簡稱十二年國教)，教育部訂定“十二年國民基本教育實施計畫”，做為準備實施的依據。計畫中有一“提升國民素養實施方案”。根據此方案成立“國民素養專案計畫辦公室”，並規劃出五個領域的素養，包含語文、數學、科學、數位、教養。單獨成為國民五個素養之一，可看出數學的被重視。前述辦公室，後來便提出“教育部提升國民素養專案計畫報告書”，網路上可找到此報告書。在報告書的數學素養裡，訂出四大數學知識素養領域，即變化與關係、空間與形狀、數量，及不確定性與數據。在數學四大知識素養領域中，不確定性與數據，便屬於機率與統計的範疇。近年來機率與統計的被重視，可見一斑。那些機率與統計的內容，會被放進高中數學？

早期排列組合在高中數學裡的分量很重，考試也常出現各種刁鑽古怪的題目。表1在“排列、組合”的主題，於備註欄中寫著“不含環狀排列”，及“本章節要避免情境不合常理、過深、或同時涉及太多觀念的題型”。負面表列，由此大略可看出，太過繁瑣，或實際上很少會有的情境之機率問題，都不是現今高中數學裡所在乎的。取而代之，與生活息息相關的統計，被認為對學生更有用。簡而言之，制定數學課綱者認為，統計是現代國民該具備的知識，因此高中時便該學習。至於太複雜的排列組合，則不學無妨。

決定要統計後，高中數學裡，該涵蓋那些主題呢？媒體上常公佈各種民調的結果，除給出民眾對某議題之支持率外，亦會給出抽樣誤差，因而得到信賴區間。信賴區間看起來很重要，所以便進入95暫綱了。做民調時會比較不同族群的支持率是否有差異，這便是交叉分析，也隨之進入95暫綱。而由於樣本較大時，計算困難，得藉助近似，於是中央極限定理，也就堂而皇之地一併引入高中數學了。要知在大學的機率與統計教科書，中央極限定理及信賴區間，大抵都放在全書的後半部。於經過系統的鋪陳後，才會進入此二題材。如今在篇幅不多的高中數學中，企圖介紹此概念上絕非簡單的題材，無法講清楚，乃屬必然。甚至為了探究信賴區間中，所伴隨信心水準的涵義，令有些好學的中學數學教師，反而連機率的意義都弄糊塗了，見黃文璋(2011a)及(2011b)。

十二年國教，從民國72年開始規劃，歷經二十餘年的推動，終於在民國103年正式實施。教育部也於當年11月，公佈“十二年國民基本教育課程綱要總綱”。各科目據此訂定課綱，並將自107學年度，依照不同教育階段(國小、國中及高中等學校一年級起)，逐年實施。如黃文璋(2011b)、 (2011c)及(2011d)三文所指出，目前高中數學課本中，與信賴區間相關的內容，可說寫得左支右絀。因此在107課綱中，信賴區間的刪除，已屬勢在必行。但鑑於統計的重要性，刪除這些內容後，是否該加進什麼統計主題？