7 關於學測級分的探討(四)
考完試，看分數普遍太低，教師有時會做一些調整，也就是將分數給個轉換。以開根號乘以10的方式來調整，在早期很常見。即將x分，換成10x1/2分。此公式的優點是，0分仍是0分，100分仍是100分，所有成績都仍介於0到100間，且高低分順序維持不變。當然也有缺點，就是每人加的分數不同。考25分者變成50分，加的最多。而本來考1分與0分，差別極小，但換算後，前者成為10分，後者仍是0分。又雖每一科的高低順序不變，但若幾個老師都同樣採此調整成績的方式，則總分便有差了。例如，假設有A，B二生，考國英數3科。A生分別得81、64及36分，總分181；B生分別得100、100及4分，總分204。原本B生總分較A生高出23分，遙遙領先。但3科都經開根號乘以10的調整後，A生成績分別為90、80及60分，總分230；B生則分別為100、100及20分，總分220，反而落後A生10分。這種例子極多，讀者可自行嘗試舉一些。
如果想知葡萄跟芒果何者較營養，則該分析新鮮的葡萄及芒果之成分，而非比較被加工過的葡萄乾與芒果乾，此為眾所皆知的道理。大學校系在辦理甄選時，可依自己學系的屬性，或招生策略的考量，對學測的某些科目不採計、依成績採計，或加重計分，看起來很有自主性。只是各校系拿到的，並非各科原本的分數，而是被加工過的成績，即級分，以及意義不明卻用來當門檻的5標。為何不讓各校系自行對原始分數做判斷？非得依被轉換過的成績？為何不能自行訂定門檻？而只能依5標？大考中心未免太越俎代庖了！本來考題及配分都是大考中心百分之一百決定的，大考中心自己卻覺得成績不能用來評比，必須轉換。轉一次成為級分，再換一次弄出5標，背後究竟有何大道理來支持其作法？
雖我們已指出級分及5標設計的若干缺失，底下各再給一個。
大考中心由於依分數等距，而非依人數百分比，將原始分數轉換成級分，造成考生成績排名可能超乎想像的大翻轉。假設有A，B二生，皆參加104學年度的學測。國文、英文、數學、社會及自然等5科，A生原始分數各得82、88、100、126及116，總分512；B生原始分數各得83、89、92、127，及117，總分508，A生優於B生。由表8，A生5科級分各為14、14、15、14，及14，總級分71；B生5科級分各為15、15、15、15，及15，總級分75。A生原始總分比B生多4分，其中有一科多8分，另4科各少1分。高的那科多很多，低的那4科都才少些許，原本A生不會被視為比B生差一截，甚至會覺得A生略好些。但換算成級分後，B生興高采烈，因他得到滿級分。至於原始總分較高的 A生，反而比B生少了4級分，能選的校系差很多了，有點氣餒。不是為了讓學生不要斤斤計較分數，才採級分制，現在看來，怎能不計較呢？總分較高，總級分卻低了4級，還不是最離譜的。假設C生5科原始分數各得98(最高分)、69、71、144及128，總分510。5科中有3科考到最高分，其中有兩科還滿分，相當不容易。但由表8，C生5科級分各為15、11、11、15，及15，總級分67。C生原始總分較B生高，但卻足足少了8級分，能選的校系與B生完全不一樣了，黯然神傷。怎會這樣？要知有些學系，沒有75級分，是通不過申請入學第一階段的篩選。只是能通過真的就是最頂尖？67級分一定遠不如75級分？現在看起來都未必。
大考中心依百分位數來訂出5標的級分，其百分位數是從下往上數，但其實從上往下數應較恰當。本來引進百分位數來訂5標，如前所述，已屬匪夷所思了。採從下往上數，更加重其不合理性。什麼意思？
假設自然的到考生有150,250位。因150,250×0.88=132,220，故依現行作法，從最低分往上數之第132,220位到考生的級分便為頂標。如果採從上往下數呢？即因150,250×0.12=18,030，故將從最高分往下數之第18,030位到考生的級分訂為頂標。依第一種算法，往上數之第132,220位到考生，為從最高分往下數之第18,031(=150,250-132,220+1)位。兩種作法，所得頂標那位指標學生，有一點小差別，前後差一位。不過這是因乘出來是整數，若有進位算出來便會一樣。舉例來看。如前假設數學的到考生有150,327位。150,327×0.88=132,287.76，進位得132,288。此為從最高分往下數之第18,040(=150,327-132,288+1)位，又因150,327×0.12=18,039.24，進位後再度得到18,040。即此時從下往上或從上往下數，會得到同一位頂標的指標考生。無論如何，你可能覺得反正差異不大，固定一種算法來訂5標即可。但底下將說明，採從上往下數該是較合理的。
對於學測，大考中心雖宣稱“考生五科都必須應考”，但實際執行時，各科都會有些缺考。現假設自然的150,250位到考生中，15、14及13級分，各有6,001、12,029位，及13,243位。得到15及14級分者，合計18,030位，恰占12%。另一方面，由0至13級分共132,220(=150,250-18,030)位，占了88%。則依目前算法，自然頂標為13級分。可看出此時頂標的那位指標考生，為13級分的“頂”，至於自然達到頂標，為拿到13、14及15級分者，其人數共有6,001+12,029+13,243=31,273，約占自然到考生的20.81%(=31,273/150,250)，遠高於預定的12%。現假設有位自然一向很不好的考生，於第二天考完社會後，已快耗竭了，心想準備申請的校系都不採計自然，於是把心一橫，不管老師及爸媽的叮嚀，排在最後一考科的自然不考了。如此一來，自然的到考生成為150,249位。如此一來，150,249×0.88=132,219.12，進位得132,220。因少了1位到考生，由0至13級分也較原本少掉1位，即共132,219位。於是第88百分位數的那位指標考生，往上跳一位，變成14級分的“底”。
各科缺考者通常是該科較差的學生，如今因多了一位屬於底層的缺考生，竟然影響到上層，使頂標提高1級分。原先達到頂標的考生有20.81%，如今只有12%。這一來，將造成很多學生因自然未達頂標，而通不過某些校系的門檻了。某考生的一念之間，影響竟然如此大，寧非怪事？難道是蝴蝶效應(butterfly effect)？如果各標的計算，是從最高分往下分別數12%、25%、…，就不會有這種大起大落的現象了。
在統計裡，對收集到的資料，一直攜帶著常覺累贅，而資料太多後，也不易了解其內涵。如何能達到資料減縮(data reduction)的目的，並使有用的資訊毫無損失？這便引進了充分統計量(sufficient statistic)的概念。例如，欲估計某銅板出現正面的機率p。一個辦法就是反覆投擲n次，各次的結果分別以X1，X2，…，Xn表之，其中Xi=1，表第i次得正面，Xi=0，表第i次得反面，i=1，2，…，n。於是有一串0，1的數字。對估計p，直觀上只要知道總共之正面數Sn=X1+X2+…+Xn便夠了，而不必知道究竟那些次得正面，及那些次得反面。Sn便為一個充分統計量。即有了Sn後，就不用再知道X1，X2，…，Xn各是多少了，資料遂大幅減縮。但大考中心提供的級分，卻對擬了解學生程度，失去很多重要的資訊。他們為何如此做呢？
