6 關於學測級分的探討(三)

學測成績，能用於大學繁星推薦，及大學個人申請等入學管道。各大學校系在第一階段篩選時，可對學測的總級分及各科級分，依5標訂出檢定標準，做為篩選門檻。就以國立台灣大學為例。在103學年度，生物產業機電工程學系，只對數學1科訂出均標；牙醫學系訂出國文前標、英文頂標、數學頂標、社會均標，及自然頂標，5科中涵蓋3標；數學系訂出國文後標、英文均標、數學均標、社會後標，及自然均標，各科門檻均不高；化學工程學系，則國文、英文、數學及自然，4科皆須達到頂標，門檻不低；獸醫學系對國文、英文、數學、自然，及總級分，皆訂出均標，是少數門檻中包含總級分者。由此大致可看出，即使同一所大學，各學系於訂定檢定標準時，可能有各種考量，差異有時很大。而門檻所能依據的，並非原始成績或級分，而是總級分及各科級分的5標。5標既然在篩選過程中，扮演重要的角色，因此大考中心提供的5標，意義該很清楚才行。只是並非如此。

如前所述，頂標、前標、均標、後標，及底標等5標，乃分別依到考生之第88、75、50、25、12等百分位數之級分而定。看到這裡，不少人腦海中可能浮現12、25、50、75，及88等百分比，分別為達到各標的人數之百分比。可惜大考中心並無此邏輯。這裡涉及的百分位數如何定義？大考中心在學測的簡章有說明。其計算很容易，舉例來看。假設數學到考生有150,327人。由150,327×0.88=132,287.76，採無條件進位至整數，即取132,288，則從最低分往上數之第132,288位到考生的級分，便為頂標；150,327×0.75=112,745.25，則從最低分往上數之第112,746位到考生的級分，便為前標；150,327×0.50=75,163.5，則從最低分往上數之第75,164位到考生的級分，便為均標；150,327×0.25=37,581.75，則從最低分往上數之第37,582位到考生的級分，便為後標；150,327×0.12=18,039.24，則從最低分往上數之第18,040位到考生的級分，便為底標。

底下以上例來對頂標略做解析。因“至多”有132,287位考生，其數學的原始分數，比第132,288位考生的低，不到88%(132,287/150,327=0.8799…)，所以大考中心並非採九年課綱中百分位數之定義。又為何我們說“至多”呢？數學滿分100，而在表8中，分數區間端點表示至小數第2位。由0.00至100，共有10,001個不同的分數，15萬多的到考生，每一分數平均約有15人。所以對第132,288位考生，很可能有好幾位考生，數學與他同分，此將造成分數比他低的，少於132,287位。事實上，依104學年試卷中各類題目的計分方式，數學之原始分數，並不會有小數，因而每一分數之同分者會更多。如此一來，這位被大考中心挑出來，當第88百分位數指標的考生，數學原始分數低於他的考生，將更不到88%了。

大考中心所採百分位數的定義，應相當接近在上一節中，我們所給的。此因分數少於或等於第132,288位考生的，至少占88%;而分數多於或等於第132,288位考生的，由於至少有18,040(=150,327-132,287)位，而18,040/150,327=0.12…，即至少占12(=100-88)%。但要注意的是，如同在上一節裡，所舉的那幾個例子，這第132,288位考生，其數學的原始分數，雖被稱做是第88百分位數，卻可能同時為好多個不同的百分位數。

靈敏的讀者可能已警覺到了，假設數學的分數只有整數，則雖多達十餘萬位考生，但分數僅101筆，因此根本不算“總次數多的資料”。尤有進者，就算分數真能計算到小數第2位，1萬多個不同的分數，乍看不少，到頭來卻仍非“總次數多的資料”。因最後原始分數被束之高閣，只剩下級分。15級分連同0級分，相當於總共才區區16筆相異數據。看看在上一節中，我們所給的那幾個數據個數不多的例子，不但一數可能同時為好幾個百分位數，一百分位數也可能會是很多個不同的值。此現象即使當數據不是太少時，都可能發生，何況僅16筆相異數據？因此看似精準的百分之88、75、50、25，及12，後來完全不是那麼一回事，乃屬必然。

我們之前曾質疑同一科在不同年，及同一年的各科，相同級分皆無法相互對照。如今各科級分及總級分的5標，都是同一百分位數，總可以相互對照了吧！非也。若這樣想，便被大考中心誤導了。

表10給出104學年學測，總級分及各科的5標之級分，資料取自大考中心網站。至於各標級分右側括號內之百分比，為達到該級分之考生，其人數所占百分比。這是我們利用表9，及大考中心網站上“五科總級分人數百分比累計表”，經簡單計算後，所求出的。這項資料，其實對大學校系、考生與家長，都是頗具參考價值之數據。可了解究竟有多少百分比的考生，達到某校系之篩選門檻。只是不知大考中心何以不附上？難道是因擔心提供後，會讓人對5標的內涵產生懷疑？才乾脆模糊些，所謂民可使由之，不可使知之。

由表10可看出，對同一標，各科達到的考生之百分比，相差不小。以頂標為例。本來既然是第88百分位數，一般人難免以為，不論再怎麼進位，或有多少人同分，能達到的考生之百分比，都該接近12%。結果最低的是英文，百分比約12.18，還算符合頂標的意義。但最高的國文，達到頂標的考生，是預定12%的兩倍多，多達28.50%，這樣也算頂尖？大學校系以為訂了個高門檻來篩選考生，豈料此門檻一點都不高，真是嚴重被誤導了。檢視5標，各科都有某些標，達到的考生所占百分比，偏離設定的百分比很大，只有總級分較好些。這是合理的，因由0至75，總級分共有76筆相異數據，比各科級分的16多了不少。即使如此，總級分達到均標之考生，約占52.08%，與50%有相當明顯的差異。更引人注意的是，國文頂標及前標都是13級分，怎會這樣？該訂頂標或前標?大學校系說不定曾仔細分析利弊。結果大考中心底牌掀開，告訴你白花心思了，二標沒有差別。

回頭看上一節所給的那組數據1，1，1，1，1，1，1，1，1，2之例，且採我們對百分位數之定義，並在數據中找。則p₀，p₁，…，及p₈₉皆為1；p₉₀，p₉₁，…，p₉₉，及p₁₀₀皆為2。由於p₁₂、p₂₅、p₅₀、p₇₅，及p₈₈皆為1，故從頂標至底標，5個標皆為1。5標居然為同一值！不必訝異，主要原因是，雖數據個數為10，但相異的卻只有2個。不要忘記學測各科的十餘萬到考生，也只有16個相異的級分。一旦有某一級分的人數，占了過高的百分比，便可能導致上下二標是同一級分。有些讀者可能會說等等，要依大考中心的算法求5標。結果其實是一樣的。因由10×0.12=1.2、10×0.25=2.5、10×0.50=5、10×0.75=7.5，及10×0.88=8.8，得知要找第2、3、5、8，及9個數，而這5個數都是1。

附帶一提，表10中各科的5標，利用表9中各科級分人數百分比之累計即可得。印證我們之前隱含指出的，換算成級分後，就相當於有16筆相異數據，而非有十餘萬筆數據。以國文為例。由表9，人數百分比之累計，至8級分時，首度超過12，故底標為8；至10級分時，首度超過25，故底標為10；至11級分時，首度超過50，故均標為11；至13級分時，首度超過75，故前標為13；也是至13級分時，首度超過88，故頂標仍為13。本來人數百分比之累計，至7級分時，約為11.69，離12並不太遠，約只差0.31。但因“固守”要大於或等於12的原則，因此再多1級，造成人數百分比之累計約為16.92，與12差了約4.92。捨0.31就4.92，使誤差增大不少。又人數百分比之累計，至9級分時，約為24.55，離25約只差0.45。但再度得再多1級，於是人數百分比之累計約達36.19，與25差了約11.19。再度捨小小的0.45就11.19。再來看人數百分比之累計，至11級分時，約52.47，而至10級分時，僅約36.19，距50太遠了。所以合理地取11，這是均標。至於人數百分比之累計，至12級分時，約71.50，不到75，得再多1級。但13級分的人數，所占百分比不少，約16.52。而71.50+16.52=88.02，不但遠大於75，且略超過88，遂使頂標亦為13級。

事實上，因得到各科各級分的考生，其人數常都占相當份量，因此各科達到某標人數之百分比，通常比(100-該標之百分位數)%大，甚至還可能大不少，這有點像一個數兩邊算的後果。以均標為例，這是依50百分位數得到的。但表10顯示，各科達到均標人數之百分比，分別為63.81，55.73，51.27，60.90，50.30。其中國文的63.81，及社會的60.90，其百分比都較50大了10以上。5標實際的意義，與原本宣稱的百分位數既然可能差那麼多、各科5標的真正意義常差很大，且不能相互對照，大考中心何必苦守由12至88那5個百分比？依級分累計人數的百分比，斟酌訂定5標不就好了？甚至又何必先級分後5標？各科按原始分數的累計人數，約略等分成15級不就好了。如此每一級分人數的百分比，便將“接近”(因有同分及除不盡等因素，各級分人數的百分比不易剛好相等)。不必5標，各校系篩選門檻，以級分來訂定即可。這既簡單，且更透澈，因達到某一級分人數的百分比，各科以及各年，是很接近的。

歸根結柢，原始分數不就可以了？大考中心何須迂迴曲折，棄原始分數，改採級分，再搭配5標？