好賭是人的天性，每逢重要運動比賽，地下賭盤便熱鬧滾滾。目前已有政府核准發行的運動彩券，保障十足，地下賭盤還有市場嗎？仍是有的。因兼具發展體育運動及公益的責任，依“運動彩券發行條例”之規定，運動彩券的獎金支出，不得超過售出彩券總金額之78%，光是這點就比不上地下賭盤的吸引力了。棒球深獲國人喜愛，可說是我們的國球，有關棒球的賭，自然也不會少。在國際棒球比賽，即使中華隊原本不被看好，仍可能有很多愛國球迷，押注在中華隊上，希望藉著“集氣”，使中華隊獲勝。實力至上，通常最後的回饋，只有愛國二字。但球是圓的，難免有大爆冷門，中華隊戰績極優異的時候。由於事前評估技不如人，因此賠率自然很高。有時當眾賭徒還在慶幸愛國有好報，卻發現空歡喜一場，因不堪虧損，地下賭盤的組頭跑路了。有關這類情事的報導，時有所聞。落得一場空，卻無可奈何，既然是地下，不論獎金再有利，保障總沒那麼大。於是我們連想到，保險說起來也是一種賭，那保險公司會不會入不敷出？

大家知道，保險公司乃從投保人收取保費，以支付經營的開銷及理賠。保費的計算，乃仰賴精算師(actuary)。精算師利用數學、機率與統計、經濟，及財務等知識，以及政府公佈的死亡、傷害及意外等數據，評估一些事件發生的風險，以制定保單。由於一切要精算，非常專業，且關係到公司長遠營運成敗，責任重大，所以在各行各業中，精算師算是高待遇的。雖經過精算，但真的萬無一失嗎？如果很多人同時要求理賠呢？資金若不夠雄厚，會不會賠不出來？也就是幫人保險，但本身保險嗎？

保險公司是否保險？底下我們以一個簡單的例子來說明。根據行政院衛生福利部的資料，事故傷害死亡，乃包含運輸事故、意外淹死及溺水、意外墜落、意外中毒、火及火燄所致之意外事故，以及其他等項目。生命可貴，或許大家愈來愈重視安全，全台灣每年意外死亡人數，從民國88年的12,960人，逐年減少至102年的6,619人。台灣人口約有2,300萬人，所以102年的意外死亡率為

6,619/23,000,000»0.0288%。

就以萬分之3計好了，即3×10^-4。現假設某人成立一家保險公司，只承辦意外險，且只有死亡才理賠。理賠金額每案一律500萬，至於保費則每年4,000，幣值單位採新台幣的元。又假設每一投保案的平均處理費用為2,100。若以X表某一投保案，公司之淨所得，則X之期望值為

E(X)=4,000-2,100-5×10⁶×3×10^-4=400。

平均一投保案淨得400，看起來並不算多，但已是保費的10%了，總是積少成多。假設初期經營，業績不太好，譬如說只有1,000人投保。這1,000人中，至少有1人發生意外死亡的機率為何？每1人未發生意外死亡的機率為1-3×10^-4，因此1,000人皆未發生意外死亡的機率為(1-3×10^-4)^1,000，此處我們當然假設各人會發生意外死亡的事件為獨立。由此得至少有1人發生意外死亡的機率為

1-(1-3×10^-4)^1,000»1-0.741=0.259。

超過1/4，並非太小的機率。理賠500萬，但總保費的收入才

4,000×1,000=4,000,000，

還要扣除共

2,100×1,000=2,100,000

的處理費。因此只要理賠1人便虧了310萬，有點悽慘，風險看來不小。

再來看一般的情況。假設有n人投保，保險公司對各人之淨所得，分別以X₁，X₂，…，X_n表之，至於總淨所得則為S_n=X₁+X₂+…+X_n。當n夠大，我們想求P(S_n>a)的近似值，其中a為一實數。X₁，X₂，…，X_n為iid，共同的期望值已知為400，又可求出共同的變異數為

Var(X)=(5×10⁶)²×3×10^-4×(1-3×10^-4)=7.49775×10⁹。

至於標準差則為

(Var(X))^1/2»86,590。

由中央極限定理，標準化後的S_n可以N(0,1)分佈來近似，即

P(S_n>a)»P((S_n-400n)/(86,590×n^1/2)>(a-400n)/(86,590×n^1/2))

»P(Z>(a-400n)/(86,590×n^1/2))»1-P(Z£(a-400n)/(86,590×n^1/2))，

其中Z有N(0,1)分佈。

取a=0，即想看至少有賺的機率P(S_n>0)，大約是多少？由上式，當n=10²，10³，10⁴，10⁵，10⁶，P(S_n>0)之近似值，分別為

P(Z£-0.0462)»0.4816，

P(Z£-0.146)»0.4420，

P(Z£-0.462)»0.3220。

P(Z£-1.461)»0.0720，

P(Z£-4.619)»0.000001928。

做生意沒有穩賺不賠的，但只要保戶達到10萬，就不太會(機率約0.072)不賺；而一旦保戶達到1百萬，不賺的機率就很低(0.000001928)了。

我們再來看，有0.9的機率，保險公司可賺超過多少？即想求出使P(S_n>a)=0.9式子中a之值。既然不可能百分之百賺錢，遂想知道很可能(機率0.9)會賺超過多少的情況。再度，由中央極限定理，我們有

P(S_n>a)»1-P(Z£(a-400n)/(86,590×n^1/2))=0.9。

由上式便可得a之近似值。即由

P(Z£(a-400n)/(86,590×n^1/2))=1-0.9=0.1，

得

(a-400n)/(86,590×n^1/2)»-1.282。

故

a»400n-1.282×86,590×n^1/2。

當n=10²，10³，10⁴，10⁵，10⁶，分別可得a近似值為

a»-1.070×10⁶，

a»-3.110×10⁶，

a»-7.101×10⁶，

a»4.896×10⁶，

a»2.890×10⁸。

可看出當保戶達到10萬，每年差不多(有0.9的機率)可賺至少490萬；當保戶達到1百萬，每年便差不多(有0.9的機率)可賺至少2.9億了。

雖我們僅考慮一極簡化的保險案例，但已能以管窺天。保險公司一向要業務員拼命拉保戶，因只要保戶夠多，那不但幾乎穩賺不賠，且可說獲利優渥。反之，若資金不夠雄厚，則當保戶不夠多時，風險就不小了。