我們很早便學到圓周率π，一開始給的值是3.14，準確到小數第二位，後來說是3.14159，準確到小數第五位。但我們一直知道，就算給再多小數位，皆非π的真實值，都只是近似。因π是一不循環的無限小數，也就是無理數。但給的小數位愈多，誤差便愈小。中學時在化學課裡，因實驗中會進行各種測量，而量器不論多精細，其刻度總是有限，於是我們又學到有效數字(significant figure)。在大學微積分裡，接觸各種複雜的函數，尚有所謂超越函數(transcendental function)，但多項式還是我們最了解的。包含微分及積分在內的各種運算，對多項式而言都很簡易。後來便又引進泰勒展式(Taylor expansion)，即以一數列的多項式，來逼近某一函數。但簡易歸簡易，多項式與函數到底有多接近？也就是誤差有多大？泰勒定理(Taylor's Theorem)即可給出誤差的大小。掌握誤差是很重要的。雖不斷在取近似值，但由於能夠一路掌握誤差的大小，因而太空船可順利登陸月球，且返回地球時，落點與預估降落點，差距也不太大。
連數學上的計算，實際應用時都常免不了有誤差。處在此隨機世界，更是充滿誤差。我們經常在估計，估不準是常態，因此最好都附上誤差，否則估計準確到什麼地步，完全不知。我們經常在做判定，最好提供決策是在多大的誤差下接受的。雖不喜歡誤差，但既然無法避免，只好儘量了解它，並學習如何與它共處。所以具備相當的誤差概念，是極必要的。
眾所皆知，電視公司都很重視“收視率”，因這與廣告收入息息相關。某時段某一電視節目的收視率，乃收視總人口與裝機總人口之比。可以經由電話、問卷調查，及機上盒等方式得到收視率。目前主導全台灣電視節目收視率調查的，是AC尼爾森公司(ACNielsen)。這是一家總部位於美國紐約市的國際市場調查研究公司。主要業務包括消費品市場的情況和動態、解決市場和銷售問題，以及確定市場發展機會。尼爾森公司自1994年開始在台灣從事電視收視調查。他們是怎麼調查收視率的？先抽出台灣1,800戶家庭，在其客廳中的電視安裝“個人收視紀錄器”(People-Meter)，以進行收視調查。尼爾森每天提供客戶，包括無線及有線頻道，各時段之收視率。
常有人質疑那1,800戶樣本究竟是如何產生？其收視習慣是否真能代表全台灣？一般來說，社經地位較高者，較在意隱私權，較不情願讓人來家中安裝收視記錄器。雖接受調查者，可獲得若干補助或贈品。但那些收入較高者，自然不太會將那些小惠放眼裡。此外，現今年輕人，常是經由網路視頻收看電視節目，也就較不易被調查到。因此透過收視記錄器所得到的資料，可能會有相當程度的偏差。尼爾森公司針對外界對有關調查的詢問，似從未正面回應。雖曾有人傳出，尼爾森公司的抽樣過程還算嚴謹，亦有監督流程的機制，每年且會換掉20%的樣本戶，五年就全面更新一次，因此就抽樣而言，應經得起考驗。只是依據民國99年的人口及住宅普查，台灣地區有744萬5,949戶，1,800戶的樣本是否足夠？的確會令人存疑。而且相對於民調的每次抽樣，這樣至少一整年，仰賴同一批家庭的收視狀況，當做全台灣的收視率，恐怕就是難以被認為夠客觀。
在此不擬討論尼爾森公司的調查方法，而討論不少人疑惑的“誤差比收視率大很多”之問題。在尼爾森公司網頁的“電視收視率調查簡介”項下，給出“樣本數”是1,800+戶，至於“個人收視紀錄器裝設數”則為3,186+。有個“+”號，應表示實際數字有可能會多些。而裝設數3,186多於樣本數1,800，不知是否表示有些裝設個人收視紀錄器的家庭，因某些原因，未被當做樣本。說實在，網頁上那個簡介的確是有夠簡的。號稱調查簡介，卻只列出一些數字及電視台等資料。有些數字還很過時，如簡介中的“人口數”(猜想是指台灣地區)項下為2,260萬，但依民國99年的調查，台灣地區有2,312萬3,866人。
曾有人針對50至55台，那6個無線電視新聞台，對比尼爾森公司與凱擘股份有限公司的調查數據。並以民國103年5月19日20時這個時段，每15分鐘收視率為例。依照尼爾森的調查，得到的收視率排名依序為：TVBS-N(2.13%)、年代(1.87%)、三立(1.84%)、東森(1.72%)、民視(1.47%)，及中天(1.02%)。至於凱擘提供的收視率數據，排名則依序為：TVBS-N(2.00%)、東森(1.80%)、三立(1.19%)、中天(1.13%)、年代(1.05%)，及民視(0.83%)。兩家公司對6家無線電視新聞頻道的收視率調查，差異不算小，排名也大不相同，這些都暫表不提。12筆數據中，最大的才2.13%，最小值則為0.83%。收視率都是這麼小的值，何以尼爾森公司調查的誤差值，卻會高達約2.3%？
這麼說好了，假設量測某大學校園內各棟建築的間距，得到的值從幾十公尺、一百多公尺，到兩百多公尺都有。負責調查者，若宣稱誤差有230公尺，必會讓人不解。這麼大的誤差，比較像是在量台南到高雄的距離，而不是有關校園建築。因此對尼爾森公司調查收視率的誤差值，會有疑惑乃極合理。那2.3%的誤差到底如何得到？一般做民調時，在信心水準取成95%之下，抽樣誤差的(近似)公式為
d=0.98/n1/2，
其中n乃實際成功訪問的樣本數。以n=1,800代入上式，即得d»2.31%。就是這樣來的。
持續投擲一出現正面機率為p之銅板n次，各次投擲間假設相互獨立，若以Sn表共得之正面數，則Sn有B(n,p)分佈，且相對頻率Sn/n，便常用來做為p之估計量。利用中央極限定理，可得p之一95%(近似的)信賴區間
[Sn/n-1.96((Sn/n)(1-Sn/n)/n)1/2，Sn/n+1.96((Sn/n)(1-Sn/n)/n)1/2]。
此(近似的)信賴區間之半徑為
1.96((Sn/n)(1-Sn/n)/n)1/2。
由於Sn/n介於0與1之間，故(Sn/n)(1-Sn/n)£0.25，這利用中學數學便可得到。於是((Sn/n)(1-Sn/n))1/2£0.5。因此便得(近似的)信賴區間半徑之一上界
1.96×0.5/n1/2=0.98/n1/2。
這就是此一形式簡單之抽樣誤差公式之由來。
原本是95%(近似的)信賴區間之(近似的)半徑，後來被當做抽樣誤差。至於實際的抽樣誤差，是不是就這麼大呢？當然不是！例如，如果一開始考慮99%的信賴區間，則將得到更大的抽樣誤差。我們只能約略地(畢竟過程中用到幾次近似)說，誤差有很大的機會(如95%，99%等)，不超過所給的抽樣誤差值。
想估計某地區民眾對某特定議題或某人物的支持率p，隨機抽取n個樣本來調查。由於是取出後不放回，樣本中支持的人數，並不會有二項分佈。但若所取的樣本數n與母體人數相比很小，則以二項分佈當模型，誤差倒不致於過大。事實上，此誤差通常不會太令人在意。主因是對人的調查本就很複雜，人甚至不會誠實回答問題。因此將取出後不放回，視為取出後放回，所產生的誤差，比起其他各種可能的誤差，還算是小的。太執著於支持人數並無二項分佈這一點，將有如治絲益棼，或見樹不見林。雖整個過程問題重重，但我們至今大抵仍以如此取樣的方式來估計支持率，這乃沒有辦法中的辦法。只要過程很嚴謹，並具備夠好的邏輯概念，民調結果，仍值得參考。注意！僅能參考，並不能完全仰賴。過程中，以0.5取代((Sn/n)(1-Sn/n))1/2，即將誤差放大，一方面讓公式簡潔些；一方面也有“彌補”的心理。因人與銅板畢竟大不相同，取大些的誤差，覺得較合理。
一般對某議題或某人物的支持率之調查，其值從接近0%，到接近100%都有可能，當然也常在50%附近。當Sn/n很接近0.5時，((Sn/n)(1-Sn/n))1/2，便很接近0.5。所以執行民調時，((Sn/n)(1-Sn/n))1/2的上界，常無法從0.5往下降。不過現今台灣電視頻道多達100個，因此大部分的頻道頻道收視率都高不到那裡去。假設經長期觀測，確信那6個無線電視新聞台，收視率均不至於超過3%。則前述近似誤差便能精準些，即
1.96((Sn/n)(1-Sn/n)/n)1/2£1.96(0.03×0.97/1,800)1/2»0.79%，
此處利用到當x落在區間[0,a]，其中0£a£0.5，則x(1-x)之極大值發生在x=a。相對於區區幾個百分比之收視率，0.79%之誤差，自然比2.31%之誤差，將讓人覺得更合理。
如果了解誤差公式是如何產生，尼爾森公司是可以對其收視率調查，提供更恰當的誤差0.79%，而不是有如食古不化，死守著d=0.98/n1/2那一簡潔的誤差公式，給出讓人疑惑不已的誤差。話說回來，如前所述，在整個流程屢讓人質疑下，更關健的誤差，很可能根本不在那誤差公式中。不論給出2.31%或0.79%的誤差，不過點綴用，意義可能都不大。
對抽樣誤差有興趣者，尚可參考黃文璋(2014c)及(2014d)兩篇文章。
參考文獻
1. 黃文璋(2014c). 在誤差範圍內? 科學人, 147期(2014年5月號): 26.
2. 黃文璋(2014d). 差距多少才有效? 科學人, 151期(2014年9月號): 29.
