人們常說“不要把所有雞蛋放在同一個籃子裡”,這原本是投資時分散風險的概念。有些家庭,逢全家出國旅遊時,長輩會叮嚀務必分別搭乘飛機,也是基於雞蛋不要都放同一籃子。在徐雋譯(2000)的那本小說裡,貫穿全書的主角約翰,以第一人稱述說他的成長史。少年時他父親受朋友之邀,舉家由美國搬遷至奧地利維也納,以共同經營旅館。並未想到雞蛋與籃子的問題,但兄弟姊妹5人加上父母,一家共7口,分兩批從波士頓搭機至維也納,不料一家子就此天人永隔。約翰與父親等5人先走,平安抵達。母親與小弟,卻連歐洲大陸都沒機會看一眼。因他們隨後搭乘的飛機,墜毀在大西洋裡。約翰是覺得幸好全家分乘兩班飛機,還是若母親與小弟也跟著他們一起走就好了?
不僅是投資或搭乘飛機,很多時候,人們常會猶豫分散或集中,何者較佳?例如,中小學裡,對於資優生的安置,是集中好?或分散好?各有支持者,都能提出一套理論。究竟該集中或分散,這種問題恐怕並無定論。事後諸葛很多,早知道…。但如同玩21點,不能看到下一張牌,才決定要不要。事前該如何做抉擇?
我們先來看前述家人搭機的例子。假設一家庭有n人,準備搭機旅遊。各架飛機失事與否,假設相互獨立,且每架飛機失事的機率皆為p。這裡的失事,指機上人員皆無倖存。由於只是拿來分析,以略見一斑,所以我們考慮很特別的情境,且只取兩個極端的搭機情況來比較:(一) n人皆搭同一架飛機,(二) n人分搭n架飛機,每架1人。以X,Y分別表兩情況中之死亡人數。在情況(一),X有p的機率取值n,有1-p的機率取值0;在情況(二),Y=X1+X2+…+Xn,其中X1,X2,…,Xn為獨立,且每一取值1的機率為p,取值0的機率為1-p。換句話說,X1,X2,…,Xn為iid的伯努力數列,故Y有B(n,p)分佈。底下分別來求X與Y之期望值與變異數。
E(X)=n×p+0×(1-p)=np,
Var(X)=E(X2)-(E(X))2=(n2×p+0×(1-p))-(np)2=n2p-n2p2=n2p(1-p)。
其次,由Y有B(n,p)分佈,立即得到
E(Y)=np,Var(Y)=np(1-p)。
X與Y的期望值相同,皆為np。也就是不論採取情況(一)或(二)的搭機方式,此家庭意外死亡人數之期望值並無差別。但變異數就差很多了。情況(一)的變異數n2p(1-p),為情況(二)的變異數np(1-p)之n倍。這是合理的。因在情況(一),死亡人數不是0就是n,變異很大;而在情況(二),死亡人數可能為0,1,…,n,變異較小。又在情況(二),會至少有1人死亡,也就是至少有1架飛機失事,其機率為
1-(1-p)n>np,
比情況(一)會有飛機失事的機率p大了不少。這也是很明顯的,因總共搭乘n架飛機,其中會有飛機失事的機率自然較大。但在情況(一),一失事就是全家n人皆死亡;而在情況(二),會全家死亡,也就是要n架飛機皆失事,其機率為pn。這當然極不可能,飛機並非那麼容易失事,所以p本就已很小了,pn更是微乎其微。所以,雖在兩情況下,意外死亡人數之期望值相同,但可能的結果差異卻不小。有人覺得好歹留些命脈,有人覺得全家生死要在一起,基於不同的價值判斷,可有不同的選擇,並非只看期望值而已。
事實上,n人搭機,並不限上述全搭同一架,或分搭n架兩種方式。至於共有幾種方式?雖有些繁瑣,仍能利用排列組合求出。但可以證明,無論採那一種方式,意外死亡人數之期望值皆為np,至於變異數則介於np(1-p)與n2p(1-p)間。
再看一例。A君玩某線上遊戲(online game),每回賭注無限制,每回獲勝之機率為0.4,輸之機率則為0.6,且是1賠1制,又假設A君有n個籌碼。來比較二策略。策略(一)乃豪賭,一次n個籌碼全下注。則有0.4的機率贏n(籌碼),有0.6的機率輸n,淨所得之期望值顯然為-0.2n。至於變異數則為0.96n2。策略(二)乃小本經營,一次下注1,共玩n回。則結束後之淨所得
Sn=X1+X2+…+Xn,
其中X1,X2,…,Xn為iid,每一取值1的機率為0.4,取值-1的機率為0.6,即期望值為-0.2,變異數為0.96。故淨所得Sn之期望值E(Sn)仍為-0.2n。至於此時的變異數則為0.96n,為採策略(一)時變異數0.96n2之1/n倍,與前述搭飛機例子的二情況相同。即分散風險後,“損失”的變異數通常會變小。當n夠大時,利用中央極限定理,標準化後的Sn,即
(Sn+0.2n)/(0.96n)1/2,
其分佈將近似於N(0,1)。故
P(Sn<0)=P((Sn+0.2n)/(0.96n)1/2<0.2n/(0.96n)1/2)»P(Z<0.2n/(0.96n)1/2),
且
P(|(Sn+0.2n)/(0.96n)1/2|£3)»P(|Z|£3),
其中Z有N(0,1)分佈。底下以n=10,000為例,分別代入上二式。則得
P(S10,000<0)»P(Z<2,000/(9,600)1/2)»P(Z<20.41),
超過20個標準差,此機率幾乎是1了。換句話說相較於採取策略(一),有0.4的機率淨所得為正,採取策略(二)的淨所得,幾乎必然就是負的。又
P(|(S10,000+2,000)/(9,600)1/2|£3)»P(|Z|£3)»0.9973,
即
P(-2,294£S10,000£-1,706)»0.9973。
因此不像採取策略(一),有0.4的機率淨所得為10,000,採取策略(二)之淨所得,大致就介於-2,294至-1,706。雖值較小,不像採取策略(一),有可能輸掉10,000,但差不多(機率約0.9973)是穩輸的。
上例顯示,何以在賭場、商場或戰場,居劣勢的一方,常會採取孤注一擲的策略,也就是將雞蛋放在同一個籃子,因這樣還有贏的機會;至於居優勢的一方,可不願拼命,常會採取蠶食,即將雞蛋分放不同籃子,這樣獲勝機率較大。
再給最後一例。某國由於國情的關係,每一家庭皆希望能有男孩。但政府為抑制人口的成長,規定每一家庭只可有一男孩,若前幾胎皆為女孩,則可繼續生,直至生出一男孩便須停止。有人擔心,這種政策執行的後果,將造成社會上女多於男,因每家只有1男孩,卻可能有好幾個女孩,男女比例恐怕會失調。負責生育政策的部門,卻不認為會產生問題。他們給的原因如下。
假設生男與生女的機率皆為1/2,且忽略多胞胎的可能。令X,Y分別表一家之男孩數與女孩數。X當然是1。至於Y,Y=k,表前k胎皆為女孩,第k+1胎則為男孩。因此
P(Y=k)=(1/2)k×(1/2)=(1/2)k+1,
其中k=0,1,…。即Y有參數1/2的幾何分佈,且是自0開始。由此得
E(Y)=Σi=0¥k×P(Y=k)=Σi=0¥k×(1/2)k+1。
可求出上述和為1,其中計算並非很困難,但就省略了。換句話說,平均而言,每家只有1女孩,並不比男孩數多。但男孩數並無變異,每家固定1人。女孩數則可能為0,1,…,且變異數為
Var(Y)=E(Y2)-(E(Y))2=Σi=0¥k2×(1/2)k+1-12=2,
其中計算仍省略。每家女孩數的變異數為2,男孩數的變異數則為0。事實上,採此政策後,將約有一半的家庭中只有一個小孩,即男孩;而另一半的家庭,平均有3個小孩,其中有1男孩,女孩之平均數則為2。這當然亦是一種不平衡。
上例看似與雞蛋或籃子皆無關,但再度顯示期望值並非做決策時唯一的考量,而且單一的政策(也算是將雞蛋放同一籃子),有時並不恰當。
參考文獻
1. 徐雋譯(2000). 新罕布夏旅館(The Hotel New Hampshire, John Irving原著). 圓神出版社有限公司, 台北市.