國立高雄大學統計學研究所
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主題:43 小機率小樣本
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2015/1/4 下午 09:40:57

通常會重視大樣本,小樣本有什麼好在意?沒錯,零星的幾個樣本,有如船過水無痕,小樣本的確常被忽視。統計裡的很多理論及方法,都是基於大樣本。再說,不論遊行或網軍,會形成力量,仰賴的不也都是人數眾多嗎?

小樣本會被重視,一般來說,乃屬於小機率事件。要知有時小機率事件,影響力卻極大。例如,報載2014年,對於航空業者來說,可說是多災多難的一年。為什麼?因發生了8起民航飛機的失事意外。乍看之下,整年全世界才8起,並不算多。但8起事故的罹難人數,分別有77239492984811639,及162人,總共1,028人,相較於2013年民航機的空難人數265人,差不多是4倍。難怪有人說,2014年彷彿染上機瘟一般。其中死亡48人的那次,發生在台灣的澎湖。飛機其實算很安全,比起全年的飛行班次摔下來的頻率極低。只是一旦發生意外後果常很慘重機上人員難以存活不說,還可能連屍首都找不到。像201438日,馬來西亞航空公司(Malaysian Airline System)有架飛機疑似墜落印度洋。說疑似,因至今全機仍下落不明,但機上239人死亡,應是一定而非疑似了。由於發生意外的機率很小但損失往往很大,所以,若某家航空公司,一年失事兩次,將備受矚目,覺得該公司的管理,必問題重重,大約少有人敢再搭乘了。

諸如曾參殺人,及三人成虎等,也都與小機率事件有關光一個人說還不信,因可能看錯,可能欺騙。但接連有3人看錯,接連有3人欺騙?機率太低了,遂不得不信。

公司一年一度的尾牙聚餐,重頭戲是摸彩。有人中了頭獎,獎品是一輛價值百萬元的汽車。公司員工多達萬名,總是有人會中頭獎,人家運氣好,羨慕就是,沒得話說。忙碌一整年,期盼的尾牙又到了。不可思議,前一年的幸運者,居然又中了頭獎。雖只比合理的一次,不過多一次而已,但這時恐怕再無人相信,他又是運氣好。連前一年的中頭獎,可能也被認為其中必有名堂。在被視為合理的中一次頭獎後,不過才又中一次,便令人滋生疑竇。開始追究後,說不定還因此挖出更多弊端。人心不足,使該員工得不償失。其實在中一次頭獎後隔年再中的機率,與第一次相同,仍是萬分之1,但卻讓人高度懷疑,不信是光憑運氣。看來若作假,即使成功,也一次就該停止,萬不可心存僥倖。在黃文璋(2013)一文,估算在一期(兩個月)中,發票中12張六獎(200)的機率。如果擁有200張發票,此機率約為6.1633×10-10,比萬分之1(=10-4)小多了。因此中獎者被國稅局關切,乃合理不過。國稅局官員算是盡職,中獎者並沒什麼好抱怨。

民國1031223日,有一準備參選苗栗立委補選的碩士生,在媒體上表示,三年前(民國100)就讀大三時,曾在公車(新竹客運)上觸碰女乘客胸部,獲緩起訴處分;大四時曾在夜店,對女性有不當肢體碰觸,接受學校性平會決議做心理諮商。他指當時一個人孤獨時,找了錯誤的出口這一年半來不再犯了。”於坦白後,強調仍會繼續參加立委補選此新聞出現後,不但讓支持者震驚,且引起社會輿論譁然。有人說僅公佈兩件有案底的,那沒爆出來的不知有多少?還有人指出性侵害案報案比例不到1/10,認為此君一定是慣犯。這些質疑者,機率概念可說相當正確。兩天後,1225日,有人在PTT(批踢踢實業坊為一網路論壇,簡稱PTT,或批踢踢)上貼文,揭露該君就讀高中時,便曾在台北捷運上,對一名高中女學生襲胸。貼文以我昨晚做了一個夢”為標題,並拍照附上當時所扣下該君的學生證。原本該君堅持不退,以為可安然撐過,演變至此,只好然神傷地宣佈退選。如果只有一次,自此改過,還可能被原諒。而若真只有一次,自己或支持者,尚可硬拗成,是不小心碰到而被誤會。如今有兩次,若這樣講將無人信了。而因承認有紀錄的兩次,導致被懷疑必不只兩次,最後果真還有第三次。不是不能犯錯,但這種大錯(小機率事件),就是不能犯比一次還多一次。

小機率事件,一旦發生便很顯著”。因此常只要小樣本,便會引起萬方注意。人們常說一之為甚,豈可再乎?”不能有第二次,對小機率事件,特別是如此,一次就已嫌太多了。

參考文獻

1. 黃文璋(2013). 運氣好不行嗎? 黃家小館(http://huang.nuk.edu.tw/cindex.htm).

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