民國103年12月23日，中國時報有一則標題是“企業調薪龜速還自喜 學者批：丟臉”的新聞，其中有底下一段：
國發會委員會議昨通過“2015年國家發展計畫”初稿，國發會主委管中閔表示，考慮國際不確定情勢，對GDP年增率首度採區間方式呈現，目標設定明年經濟成長率在3.1％至3.7％。消費者物質指數上漲率不超過2％；失業率目標區間為[3.8%，3.9％]；就業增加率目標區間則為[0.7%，1.0％]。在人均所得（每人GDP）部分，國發會目標區間訂在[22,649，22,807]美元，約合[707,328，712,262]台幣，較今年的預測值22,518美元，增加[4,091，9,025]台幣。對於首度以區間設定，取代單一目標值，被外界質疑，是怕達不到目標挨罵。管中閔表示，學過統計學的人就知道，單一設定的正確率是零，“區間設定考量了各種悲觀及樂觀因素，比單一設定更務實。”
以區間估計來取代點估計，該算是較科學，居然被罵？信賴區間難道不被信賴？
在蘇子堯譯(2013)一書的頁228，提到“經濟預測人員提出預測時，很少會提供預測區間，理由也許是因為這樣做，會危害民眾對他們專業的信任。”我們知道，一般執行民調者，公佈其調查結果時，除估計值外，亦會給出正負誤差，於是也就得到估計的信賴區間。但不知為什麼在經濟方面的預測，卻總是有人只要一個明確的值。若給一區間，便覺做預測者缺乏信心。且以為如果連自己都沒信心，做出來的預測，豈會可靠？豈值得信賴？醫生這一行，處境常也類似。有人就是希望醫生給一個斬釘截鐵的答案，不能模稜兩可，否則便認為醫術不高明。看起來，是有一些人，並不以為信賴區間值得信賴。雖如管中閔(1956-)所說，只給一預測值，會正確的機率(通常)為0。
人們經常在估計，很多時候，會遇到難以用一個值來估計的情況。例如，欲估計投擲一公正骰子所得點數。雖期望值是3.5，但只投擲1次，無論如何都不可能得到3.5，因此怎好以3.5來估計？各面出現的機率都是1/6，若只能給一個值，則究竟要很給那一個？可能便不知如何是好。於是極不願只給一個估計值，寧可列出所有可能的結果，即1，2，3，4，5，6，並附上各自的機率1/6。雖不怎麼討喜，但這的確是一個毫無瑕疵的精準估計。至於若估計投擲二公正骰子的點數和呢？雖7出現的機率，比其他點數都高，卻也只有1/6，所以可能還是寧可列出2至12，各點數出現的機率。投擲次數愈多，點數和愈分散，即使最容易出現的點數，其發生機率，也將愈來愈小。以投擲3次為例，最可能出現的點數和為11，發生機率僅1/8。所以，不論以那一值來估計，錯的機率都至少高達7/8。既然總和不好估計，那平均呢？由大數法則，投擲愈多次，點數平均(即樣本平均)，有愈接近期望值3.5之趨勢。以3.5做為投擲n次後，所得點數平均的估計值，似乎是合理的。那可否給一點數平均的信賴區間？
通常信賴區間是針對參數的估計，較少針對樣本。但由於只要未知，便能討論機率，便能估計，比照一般求信賴區間的原理，還是能如下給出點數平均的信賴區間。
若以Sn表投擲一公正骰子n次後，所得之點數和，則Sn/n，便是點數平均。由於一旦n較大，Sn的分佈便較繁瑣，因此再度，會想到利用中央極限定理來近似。Sn的期望值為3.5n，變異數為35n/12。故只要n夠大，標準化後的Sn，即(Sn-3.5n)/[35n/12]1/2，可以常態分佈來近似。因此n夠大時，約有0.95的機率，(Sn-3.5n)/[35n/12]1/2，介於-1.96至1.96間。由此即得
3.5-1.96[35/(12n)]1/2 £ Sn/n £ 3.5+1.96[35/(12n)]1/2
之機率約0.95。故[3.5-1.96[35/(12n)]1/2，3.5+1.96[35/(12n)]1/2]即為投擲一公正骰子n次後，所得點數平均之一近似的95%信賴區間。當n=100，此區間約為[3.1653，3.8347]；當n=10,000，此區間約為[3.4665，3.5335]。當然Sn/n之95%信賴區間並不唯一。我們所給的(近似)區間，是以期望值3.5為中心，算是最短的。
上述欲估計的Sn/n，乃為一隨機變數，它落在常數區間[3.5-1.96[35/(12n)]1/2，3.5+1.96[35/(12n)]1/2]的機率，為一定值。此值為何？當n夠大，毫無疑義，便近似0.95。至於一般依樣本X1，X2，…，Xn，對某欲估計的參數p，所得之信賴區間，則是p並不隨機，為一定值(但可能未知)，而信賴區間為一與X1，X2，…，Xn有關之隨機區間。在取樣前，p落在此隨機信賴區間之機率為0.95。對同一信賴區間公式，假設實際來操作。譬如說，要班上每一位學生，都投擲銅板n次，以估計銅板出現正面的機率p。由於每人觀測到的X1，X2，…，Xn不盡相同，因此每人所得之的信賴區間，通常也就不同。有些區間還可能不相交，因此自然無法每一信賴區間，都會有0.95的機率涵蓋p。只能說若得到很多不同的信賴區間，則其中約有95%個，會包含p。甚至，如果教師先給定一p值，然後要某位學生以亂數表，經由模擬以得一信賴區間，則說這已知的p，有0.95的機率，落在一根本是固定的區間，自然不恰當。因對每一固定的區間，及一已知的定值p，區間或包含p(包含的機率為1)，或不包含p(包含的機率為0)，不會以0.95的機率包含p。由於有這些微妙的原因，所以高瞻遠矚的奈曼，當初提出信賴區間的概念時，才一併引進信心水準一詞，而避開機率一詞。
最後要講的是，經由觀測到X1，X2，…，Xn，隨之得到一固定的信賴區間後，若有人問你認為該區間涵蓋p的機率為何？只要你不知p的真實值，則答0.95並無妨，這正是主觀機率！此正如同假設有人投擲一公正銅板，落地後遮住，不讓你看到，然後問你正面朝上的機率為何？雖那一面朝上其實已確定，但因你不知，很自然會說機率為1/2。這不會有問題，完全合理。至於前述0.95的答案究竟對不對？我們說過，機率並非只看少數幾次的結果。當只有一個區間，p不是在裡面，就不在裡面。但長期下來，的確有大約95%個區間，會包含p。所以，0.95的答案自然可被接受。還有要記住，之所以會信賴，之所以說信心，所指乃是得到區間的過程。若一實際所得之信賴區間，不包含欲估計之參數，不該就以為信賴區間不值得信賴。
參考文獻
1. 蘇子堯譯(2013). 精準預測: 如何在巨量雜訊中, 看出重要的訊號(The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don’t, Nate Silver原著). 三采文化出版事業有限公司, 台北市.
