持續投擲一出現正面機率為p之銅板，各次投擲假設為相互獨立，則n次後，所得之正面數Sn，有二項分佈B(n,p)。將Sn標準化，即令Yn=(Sn-np)/[np(1-p)]1/2，則當n趨近至∞時，Yn的分佈，將趨近至標準常態分佈N(0,1)。這是早期版本的中央極限定理，後來有很一般的版本。高中數學若講授中央極限定理，通常也是只到此版本。因要給出p之信賴區間估計，而為了近似用，此機率論裡著名的中央極限定理，才會在高中出現。
放進高中的題材，本應很初等才對，只是仍屢引起師生不少疑惑。有人可能好奇，諸如信賴區間，及中央極限定理，在大學機率及統計的課程裡，長期以來，似乎相安無事，少見抱怨，為何引進高中後，便問題多多？要知不論高中數學裡的信賴區間，或中央極限定理，其內容都只是大學相關題材裡，很少的一部分。高中數學的篇幅實在太有限，此二主題，只能如蜻蜓點水般，稍微講一下。但高中的大小考試很多，且試卷中，往往選擇題佔的比重相當高。既是選擇題，便常會有本質上為“是或否”的問題。這麼一點點的內容，為了設計考題，於是反覆翻看，追究各種細節，且每個問題，都要有定於一尊的答案。至於到了大學，書上涵蓋的內容極多，搞不太清楚的材料一大堆，考試又以計算證明為主，無暇也無太多精力，去思及高中師生困惑的那些很基本的問題。這是我們猜想在高中裡，對此二主題，不斷產生疑惑，而大學裡反而不太會有人追問的主因。只是沒有提出來，並不表示那些疑惑，在大學裡，眾人皆能清楚明白。底下我們針對幾個基本，但或許會令人感到不解的問題，以Sn為例，分別來說明。
第一個疑惑，乃是否Sn不必標準化，其極限分佈，即為N(0,1)？因當n逐漸增大時，Sn之“機率密度函數的圖形”(以下簡稱圖形)，不是就已逐漸顯出常態分佈的鐘形曲線嗎？
首先，鐘形曲線可能被過度引申了。有很多分佈，其圖形皆左右對稱，且由最高點，分別往左、往右下降。不仔細區分，個個都有點像鐘形。但當然不可能每一個都是常態分佈。所以，不能常覺得圖形看起來就是鐘形，因而分佈就是常態。其次，Sn乃取正值，而常態分佈會取負值，所以若不對Sn做些“改變”，不論n再大，Sn的分佈，皆不會趨近至常態。再以另一角度來看。隨著n之增大，累積的正面數Sn，有愈來愈多的傾向，這應不難理解。而且對每一整數k=0,1,…,n，Sn取值k的機率，即P(Sn=k)，將愈來愈接近0。所以，Sn之圖形，當n愈大，將愈貼近橫軸。如此怎麼看，圖形都絕不會愈來愈像鐘形。有些人可能會堅持他畫的圖形，的確有鐘形的樣子。這一方面，是他取的n仍不夠大。另一方面，若以電腦繪圖，當圖形很貼近橫軸時，為了便於觀看，電腦會調整縱軸尺度，使圓形適當地高，遂讓人誤以為類似鐘形。
第二個疑惑是，離散型的二項分佈，怎會趨近至連續型的常態分佈。
首先，連續型隨機變數的圖形，曲線下的面積表機率；至於離散型則是其圖形的高度表機率。一個是一維的高度，一個是二維的面積。維度不同，如何趨近，的確是會讓人迷惑。對Sn而言，P(Sn=k)，即為其圖形在k的高度。現考慮Sn的直方圖。那是一些小長方形，第k個長方形之底部為區間(k-0.5,k+0.5)，高度為P(Sn=k)。因每一小長方形之底部長皆為1，故第k個長方形之面積，恰等於圖形之高度P(Sn=k)。舉一例子。假設n至少是6，則Sn落在區間[1.3,5.6]之機率P(1.3£Sn£5.6)，因Sn只取整數值，故此機率等於P(Sn=2,3,4,5)=P(Sn=2)+P(Sn=3)+P(Sn=4)+P(Sn=5)，為4個小長方形面積和。經由直方圖，離散與連續之別，1維與2維不同的問題，便都解決了。
第三個疑惑是，標準化的必要性。
如前所述，當n愈大，Sn有愈來愈大的傾向，且對每一k=0,1,…,n，P(Sn=k)將愈來愈接近0。不只這樣，Sn的變異也愈來愈大。即Sn取值，隨著n的增大，散佈的愈廣。事實上，由Sn的變異數np(1-p)，隨著n增大而增大，便可看出。因Sn很大，要將它“拉回來”才行，否則不會有一適當大小的分佈。若將Sn減去期望值np，由於Sn-np之期望值E(Sn-np)=np-np=0，因此Sn-np的核心變成0，這是我們說拉回來的意思。光這樣還不夠。想想有1公斤的沙，分散在長度10,000公尺的一線段上，線段的座標不妨取為0至10,000。範圍大而沙少，則任何一段舉目所及的區間，其中含有的沙量均很小。所以量測不適合以公尺為單位了，要長一點才行，否則其中沒多少沙。此概念在製地圖時常用到。製校園、城市、國家，及世界地圖，比例都不一樣。如果單位長取為100公尺，則原先區間[562,879]將成為[5.62,8.79]。這種區間內的沙，便不至於太稀疏了。因此，將Sn拉回來後，尚要改變尺度。尺度得隨n而增大，適當的尺度便是n1/2。但我們取尺度為[np(1-p)]1/2，二者差個常數倍[p(1-p)]1/2。兩步驟併起來，即將Sn減去期望值np後，除以標準差[np(1-p)]1/2，而得到(Sn-np)/[np(1-p)]1/2，亦即將Sn標準化。標準化後的Sn，期望值為0，不偏不倚，很恰當;變異數則為1，一個單位值，看起來也很好。這是何以明明簡單的尺度n1/2，卻取成[np(1-p)]1/2的原因。至於為何標準化後，極限分佈為N(0,1)，這是證明出來的，非三言兩語可說清。這中間其實能有一些解釋，但不妨就想成有如天作之合，並不必有什麼大道理。想更進一步了解由二項分佈到常態分佈的讀者，可參考黃文璋(2011)一文。該文亦給出未標準化，與標準化後，Sn/n圖形之變化。這與討論Sn圖形之變化是等價的。
參考文獻
1. 黃文璋(2011). 關於中央極限定理之圖示. 黃家小館(http://huang.nuk.edu.tw/cindex.htm).
