在“論語”“先進篇”：
子路、曾皙、冉有、公西華侍坐。子曰“以吾一日長乎爾，毋吾以也。居則曰‘不吾知也’，如或知爾，則何以哉？…”
孔子(西元551-479年)問幾個學生，如果有人知道你們，要任用你們，你們將如何做？這完全是假設性的問題，學生也個個依序回答，沒一人避答。
人們自小起，便常在談假設性的事，也不怕回答假設性的問題。如從小學起，不時要以“我的志向”為題作文，那不就是在回答“假設長大後，要做什麼？”的問題。學生總不能說，我不一定能活那麼久，這種假設性的問題無法作答。而申請研究所時，所寫的讀書計畫，不也是在回答“假如進了研究所，將如何？”的問題。雖不見得會被錄取，但還是要告訴對方，被錄取後準備怎麼做。只是不知從何時開始，政治人物慣說“假設性的問題不回答”。猜想可能是擔心，明明以假設(或如果)開頭的問題，而且是發問者自己的假設，一旦回答後，便被當做被問者的假設，進而成為被問者心中所想。例如，一旦回答記者“假設你是總統…”的問題後，刊登出來，可能變成xxx想選總統了。有趣的是，當政治人物說出“假設性的問題不回答”後，記者通常便不追問了。
但生活中，就是充滿著假設。自中學起，在數學課裡，便常面臨命題。證明某命題為真，或證明某命題為偽。即在某些假設下，推導出某結果成立，或不一定成立。命題中的假設，並不必證明。例如，“假設有一直角三角形，則兩股平方和等於斜邊平方”，這即著名的畢氏定理。要證明此命題，不必懷疑三角形是否真有一直角。在數學裡，對於所給的假設，接受便是。而且，即使量測一萬個直角三角形，毫無例外，個個的確都滿足兩股平方和等於斜邊平方，離完成證明，仍相差十萬八千里。數學中並不以多取勝，甚至也不需眼見為實。因此連一個直角三角形都不必去量測三邊，所須做的，是依數學程序，導出對任意的一個直角三角形，兩股平方和等於斜邊平方。另外，除非證明過程中有錯誤，否則一旦證出來，便不可能找到反例。反之，若找到反例，便表原始命題有誤。即使宣稱證出來了，其中也必有錯。
數學裡的假設，雖相當自由，無須被檢驗，但也不能胡亂假設。因如果假設不真，則可能得到很荒謬的結論。例如，“若3=4，則三角形有五個邊”此命題乃為真。三角形怎會有五個邊？3都可以等於4了，還有什麼不行？真要證明，可利用邏輯裡“若p則q”，與“若非q則非p”等價。上例亦說明，對那些指鹿為馬者，人們何以會特別有顧忌，因知道在那些人心中，沒有什麼不可以。
數學裡有時也會給定假設，然後去解一些問題，所謂應用。例如，假設汽油一公升可行駛18公里，問20公升可行駛幾公里？你知道當然是360公里。只要是純數學的問題，便不會被挑戰。但若這是一真實的情況，即某廠牌汽車商，宣稱他們賣的車，汽油一公升可跑18公里，則說不定便有買了該廠牌車的消費者，因注意到每公升根本跑不到18公里，而懷疑廠商有誇大之嫌。因此當進入實際生活，一公升汽油可行駛幾公里，便不可胡亂假設，一定要有所本。
在石堅，李竹渝譯(1998)的“統計與真理”一書中，原作者當代著名統計學者勞氏(C. Radhakrishna Rao，1920-)，在序文中寫著：
學生時代，我主修數學─一種從給定前提下演譯結果的邏輯。後來我唸統計學─一種從經驗中學習的合理過程，及從給定的結果驗證前提的邏輯。我已認識到數學及統計，在人類為提昇自然知識，及有效管理日常事務，所做的一切努力中，佔有重要性。
我相信：
在最終的分析中，所有知識皆為歷史。
在抽象的意義下，所有科學皆為數學。
在理性的世界裡，所有判斷皆為統計。
這段話，正足以說明數學與統計之別。數學裡18就是18，永不會改變。只是我們所處，乃一隨機世界。一公升汽油究竟可行駛幾公里，不要說對同一輛車，便非永為定值。就算是新車，亦不見得每部都相同。一公升汽油能行駛的里程數，是會變動的。就是這樣，在隨機世界中，那些是真，那些是偽，常難以判定。你要真相？真相只有天曉得。幾乎可以說，一切都是假設。差別只是，看到結果後，有些原先的假設能接受，有些則難以接受。如何假設，及在怎樣的情況下，假設可被接受，或被拒絕(又稱棄卻)，便是統計學裡假設檢定(hypothesis testing)的問題。
在蕭敬騰(1987-)那首“奮不顧身”中，有句歌詞“我愛你，往往來不及證明”。眾所周知，不像在數學中，世上很多事並無法證明。例如，主持婚禮的牧師，並非問新娘“你確定這個男人是你的真命天子嗎？”這樣問太不實際，取而代之，是問“你願意接受這個男人為你的丈夫嗎？”至於願不願意，不就是看標準訂多高？標準若設太高，便接受不易。一旦標準降低，就容易接受了。人生乃充滿妥協，很多時候，雖不滿意，卻也只能接受。數學中處處是證明，科學裡則講“證實”。例如，不時會看到標題如下的新聞報導“德國科學家證實，喝綠茶可以減肥。”科學家並未宣佈他們證明出喝綠茶可以減肥，這大概無論如何都難以證明，而是說證實可以減肥。但證實畢竟不是證明，科學家若經一套自認合理的取樣過程，及一合理的判定過程，宣佈“證實直角三角形兩股平方和等於斜邊平方”，數學家即使不嗤之以鼻，也不會有太大興趣。他們要的是證明，而非什麼證實。有些證實後來發現的確為真，但有些後來有人提出結論迥異的證實，而有些則一直令人半信半疑。底下我們來看，科學家到底如何證實。
大家都聽過兩人分蛋糕的問題。該如何分，才會讓雙方都覺得公平？由一人負責切，然後讓另一人優先挑選，便是一簡單又合理的方法。很多時候，就是會遇到這類如何讓雙方都能服氣的情況。歐陽修(1007-1072)，在追念其父母的“瀧岡阡表”一文中，提到其父為死囚“求其生而不得，則死者與我皆無恨也”。真是洞燭機先，早在1千多年前，歐陽修之父，可說便已具備現代法律裡所重視之“無罪推定”的精神。我國刑事訴訟法第154條：
被告未經審判證明有罪確定前，推定其為無罪。犯罪事實應依證據認定之，無證據不得認定犯罪事實。
這就是所謂“無罪推定原則”。我國最高法院，於民國25年立，下有罪推定原則的判例後，經過65年，於民國90年，終於廢止該判例。自此被告原則上是無罪的，法官只要認定罪證不足，即可宣判無罪，而不必窮調查之途。在無罪的前題下，若證據夠充分，就不得不判定有罪。必須一提的是，前述條文裡的“證明”一詞，與數學裡的證明意義並不同，而與“證實”較同義。
依無罪推定原則，如果德國科學家相信喝綠茶可以減肥，那該如何假設？要先假設喝綠茶不能減肥，然後若證據夠強，便能推翻此假設，即證實喝綠茶可以減肥。假設檢定的理論與架構，是波蘭裔的統計學家奈曼(Jerzy Neyman，1894-1981)，及英國統計學家艾根皮爾生(Egon S. Pearson，1895-1980，為Karl Pearson之子)，於1933年，給出著名的奈曼-皮爾生引理(Neyman-Pearson lemma)所奠定的。他們設計了一套流程。一開始先確定二假設，即虛無假設(null hypothesis)與對立假設(alternative hypothesis)。虛無假設通常表現況，或傾向想推翻的；而對立假設則表傾向接受的。雖想推翻虛無假設，不相信虛無假設，卻儘量保護，不讓它輕易被推翻。如此一旦推翻，才能減少不服。也就是須依循“求其生而不得，則死者與我皆無恨也”的想法。
對隨機現象做決策，要永不誤判幾乎是不可能。例如，若懷疑某銅板較易出現正面，令p表銅板出現正面的機率，則可將虛無假設取為p=1/2，對立假設取為p>1/2。只是即使銅板實際出現正面的機率為0.55，比1/2大了不少，投擲100次，也可能無可挑剔的正反面各得50次。這時合理的推論，當然是接受虛無假設，但這就誤判了。至此，讀者也許可以明白，虛無假設何以名之為“虛無”了。天下本無事，庸人自擾之。不信銅板公正，要進行檢定，大費周章後，卻仍接受銅板為公正，整個過程可說白忙一場，灰頭土臉。英文null的意義為空的。接受虛無假設，表接受一空的假設。試想，法官若判定被檢察官起訴的嫌犯無罪，消費者保護會，若宣佈經檢驗某食品成份合格，表示整個過程沒有建設性，完全多此一舉。檢察官得重新偵辦案子了，而自以為為民眾把關的消費者保護會，說不定會被認為擾民。
為了簡便，我們以H0及Ha，分別表虛無假設及對立假設。會有兩種可能的誤判。其一是虛無假設為真卻拒絕，稱此為第一型錯誤；其二是對立假設為真卻拒絕，稱此為第二型錯誤。在無罪推定之原則下，被起訴者明明無罪卻被判有罪，便犯了第一型錯誤；實際有罪卻被判無罪，便犯了第二型錯誤。通常犯第一型錯誤比較嚴重。因無罪被判有罪，可能坐牢，或受處罰；食品明明合格卻被宣佈有毒，則商譽及銷售都將受損，這種錯誤較難彌補。至於有罪被判無罪，犯罪者僥倖逃過制裁，若因此改邪歸正，那便還好；但若得意忘形，則夜路走多，疏漏愈來愈大，總有被定罪的一日。
先設定一個第一型錯誤機率值之上限α，稱為顯著水準(significance level)。通常α為一較小的值，0.05，0.01，及0.001等，都是常可能取的值，表示認定這樣的機率夠小了。實務上，究竟怎樣的機率才算小，當然視情況而定，不能一概而論。如果若是死刑罪，則α為百萬分之1都不算小。在α給定後，決定何時拒絕H0，即決定拒絕域。在H0為真的假設下，出現的結果，若落在拒絕域，便稱得到顯著的結果，因小機率事件發生了，不可等閒視之。結果顯著，便該拒絕H0。出現的結果，若沒有落在拒絕域，表得到發生機率不算太小的結果，乃屬尋常，不夠顯著，尚不足以撼動H0的假設，遂仍接受H0。在同一α下，拒絕域的選取，若能使第二型錯誤的機率值β最小，當然最好。此時的拒絕域，稱為顯著水準不超過α下之最佳拒絕域。在某些條件下，統計學裡有一套找到最佳拒絕域的方法。
既然犯第一型錯誤較嚴重，那α是否取得愈小愈好？一般而言，α愈小β將愈大，無法兩全。以法庭審判為例，若法官悲天憫人，寧可錯放1千，而不願錯罰1人，對證據的審核高度嚴格，則很多實際有罪者，將可興高采烈地等著被判無罪了。很多作假的商家，又可繼續矇騙顧客了。所以α取得過小，不見得就好。宜視不同狀況，斟酌取適當大小的α。
現考慮檢定銅板出現正面的機率p。設H0：p=1/2，Ha：p≠1/2。即擬檢定此是否為一公正銅板。持續投擲銅板n次，以X表所得正面數，則X有B(n,p)分佈。當H0為真，即p=1/2，則觀測到的X，較可能落在期望值n/2的附近。所以直觀上，當X偏離n/2較大時，該拒絕H0。由是取拒絕域為{|X-n/2|≥c}={X≥n/2+c，或X£n/2-c}，其中c由n及α決定。現取n=100，α=0.05。再度，因n較大時，二項分佈的機率值就不太好算了，以常態分佈來近似，得c約為9.8，取整數c=10。如此拒絕域={X≥60，或X£40}，如此實際的α值約為0.0456。對離散型分佈，有時無法取到剛好能達到所給α值之拒絕域。另外，若α=0.01，則c約為12.88，所以取c=13。如此拒絕域={X≥63，或X£37}，如此實際的α值約為0.0094。在同樣的n之下，α值愈小，表H0愈被保護，因此拒絕域將愈小，即愈不容易拒絕H0。當α=0.01，如果投擲銅板100次，得到62個正面，比在H0下(銅板為公正)的期望值50多了12，即超過24%，感覺上很偏差，卻仍得接受此銅板為公正。沒辦法，那是因α太小的關係。解決之道是加大n。假設取n=10,000，則在H0下，X之期望值=5,000。當α=0.01時，c約為128.8，故取c=129，且拒絕域={X≥5,129，或X£4,871}。此時正面數X，只要比5,000偏離逾129/5,000=2.58%，就得拒絕H0了。至於有關求第二型錯誤的機率，比較複雜些，在此不討論。
統計是門入世的學問。統計學裡提供一套假設檢定的程序，以為做決策，或給推論時之依據。此程序並非用來判定事情的真偽，而是用來做為決定對策之指引。此處僅對假設檢定給一粗淺的介紹，想進一步認識此題材者，可參考黃文璋(2004)及(2005)二文。又本文有部分材料，取自黃文璋(2014)一文。
參考文獻
1. 石堅, 李竹渝譯(1998). 統計與真理─怎樣運用偶然性(Statistics and Truth: Putting Chance to Work, 2nd ed., C. Radhakrishna Rao原著). 九章出版社, 台北市.
2. 黃文璋(2004). 統計學裡無罪推定的精神. 科學發展月刊, 383期(2004年11月號): 68-73.
3. 黃文璋(2005). 統計顯著性. 數學傳播季刊, 29(4): 29-38.
4. 黃文璋(2014). 假設與檢定. 黃家小館(http://huang.nuk.edu.tw/cindex.htm).
