國立高雄大學統計研究所-心在南方

:::

:::

主題：36 淺談信賴區間

發表者：黃文璋　Email:huangwj@nuk.edu.tw

日期：2014/12/10 下午 08:35:08

信賴區間，當初會被引進高中數學，顯然那時並不認為這是太深的概念。但此題材自進入高中後，卻屢引起爭議。有些好學者，為一探究竟，投入鑽研，卻常反而更糊塗，有些人還因此連根本的機率之意義都搞不清楚了。即使歷來已舉辦過不少研習會，企圖釐清其中的一些問題，只是效果不彰。為今之計，就是將此題材，移出高中數學。

信賴區間究竟是什麼？它是估計用的。人們常接觸未知的量，如考試成績、銅板出現正面的機率、飲料的容量、台灣黑熊的數量、明年經濟成長率，及民眾對某議題之支持率等。估計未知的量，是為了協助決策。對一隨機現象，若採用點估計，即以一個值，來估計其中有興趣的某個量(或者說參數)，要每次都準確，通常是不可能。已病入膏肓者的家屬，焦慮地想知道親人能再活多久？但不論再權威的醫生，假設斬釘截鐵地告知4個月，則可能提早死亡，或活得更久，4個月的估計，幾乎可說一定不準。為了不讓家屬覺得醫生太不可靠，有些醫生遂回答可再活2至6個月。不以一個固定的值，而以一區間來估計，雖看起來沒那麼權威了，不過家屬反而可能認為這種估計，比較合理，更值得“信賴”。只是仍難免有部分家屬，感到這樣的講法有些模糊，遂追問可能性有多大？即死亡時間，會落在此區間的機率為何？醫生說不定答8成，或9成等。即機率0.8，或0.9等。那估計2至6個月，跟估計1至7個月，有什麼差別？就是機率的不同，後者涵蓋存活時間的機率較大。

對一未知的量，以一區間來估計，並附上該未知量會落在此區間之機率，或者說區間會涵蓋該未知量之機率，便稱為區間估計。其中的區間，稱為信賴區間(confidence interval)，或置信區間。至於伴隨的機率值，則稱為信心水準(confidence level)、信賴水準，或信賴度等。有幾個問題將立即浮現。例如，信賴區間如何產生？它唯一嗎？信心水準又是怎麼求出？

在估計一未知的量時，若採區間估計，往往是先給定信心水準。信心水準乃表機率，所以為一介於0與1間之值。求出一區間，即信賴區間，使該區間涵蓋前述未知量之機率，如事先所設定的信心水準。如果涵蓋機率無法剛好等於信心水準，則可略微超過些。信心水準有時以百分比表示，且往往為一較靠近100%的值。常取的信心水準有95%，及90%等。對一固定的信心水準，一般而言，信賴區間並不唯一，通常採取長度較短的。估計區間的長度愈短，代表估計愈精準。太長的估計區間，參考價值將較小。所以，在相同條件下，要儘量得到最短的信賴區間。底下先給兩個例子。

假設隨機變數X有N(μ,σ²)分佈，其中σ²假設為已知，μ為未知。我們來看如何給出X之期望值μ的一信賴區間。以Z表標準化後的X，即Z=(X-μ)/σ，則Z有N(0,1)分佈，且

P(a£Z£b)=P(a£(X-μ)/σ£b)=P(X-bσ£μ£X-aσ)。

如果信心水準取為95%，則先找出a，b，使得P(a£Z£b)=0.95。則當觀測到X，[X-bσ,X-aσ]便為μ之一95%信心水準之信賴區間，通常就簡單地說μ之95%(或0.95)信賴區間。由圖1，可看出a，b並不唯一，只要曲線下，從a至b的面積為0.95即可。不只不唯一，甚至對同一信心水準，有無限多組(a,b)。又利用N(0,1)分佈機率密度函數之漸增漸減性質，不難證明當a=-b時，會使區間長度最短。此時μ之95%信賴區間約為[X-1.96σ,X+1.96σ]。一旦觀測到X，代入前述區間，便得所求μ之95%信賴區間。在民國99年開始實施的“普通高級中學選修科目‘數學’課程綱要”(底下簡稱“課綱”)的“附錄”中，寫著：

高中程度的統計推論只做隨機變數期望值的估計，它的背後理論是中央極限定理。要介紹中央極限定理，就需要引入常態分布。此部分僅做通識性的介紹，以活動方式建立學生對中央極限定理的直觀。

如上我們給出常態分佈期望值之信賴區間，只是不知在何處有用到中央極限定理？因此前述所引課綱中的那句“背後理論”云云，並無依據。且可以說是畫蛇添足，一點都不需要。

其次，假設隨機變數X在區間[0,θ]均勻分佈，其中θ>0，為未知。則X之機率密度函數為f(x)=1/θ，0£x£θ。現對1£a<b，

P(aX£θ£bX)=P(θ/b£X£θ/a)=∫_θ/b^θ/a 1/θdx=1/θ(θ/a-θ/b)=1/a-1/b。

仍取信心水準為95%。要找出(a,b)，使得1/a-1/b=0.95。不難看出此不定方程式有無限多組解，例如，a=1.01，b=2,020/81即為一組解。當觀測到X，[aX,bX]便為θ之一95%信賴區間。又利用微積分，可證明當a=1，且b=20時，會使區間長度最短。此時θ之95%信賴區間為[X,20X]。如果觀測得到X=2.1，則θ之95%信賴區間便為[2.1,42]。

舉以上二例，只是讓讀者對信賴區間能略有些概念。實務上，較少會僅以一個樣本，來給出信賴區間。

眾所周知，統計在現代生活中，所扮演的角色愈來愈重要。為了讓國民具備基本的統計知識，中小學的數學課程裡，近年來陸續引進一些統計的題材。自民國95年起，高中數學課綱，還加進信賴區間的單元。惟信賴區間並非很淺顯的概念，欲進入此主題，需要一些背景知識。在一般大學的統計學教科書中，信賴區間的單元，多半出現在全書的後半部。於有了足夠的鋪陳後，才開始接觸。如今在高中數學並不太多的篇幅裡，想將信賴區間的題材介紹清楚，並讓學生了解其內涵，其實是緣木求魚，幾乎是不可能的任務。屢引起師生的困擾，乃可預期。在高中學習此題材，與讓學生享受知識吸收之樂，欣賞數學之美，完全背道而馳。且不論在計算、邏輯推演，或領悟隨機性方面，都讓學生一無所穫。北宋朝呂本中(1084-1145)所著的“紫微雜說”一書裡，有“揠苗助長，苦心極力，卒無所得也”一句，正是信賴區間放進高中數學後，幾年下來的寫照。

並不是所有參數的信賴區間，都可如前述二例，輕易地求出。而當然也不只常態分佈及均勻分佈，其參數之信賴區間可輕易求出。當信賴區間不易求出時，可能便要藉助數值計算，或採近似的方法。對一可重複觀測的隨機現象，底下說明信賴區間，可如何近似地產生。

以投擲銅板為例。假設想估計某銅板出現正面的機率p。直觀上，就是先持續投擲銅板，此過程即收集資料。每次出現正面的機率都假設是p，且各次投擲間，假設相互獨立。投擲n次後，以S_n表共得之正面數，則S_n有B(n,p)分佈，且相對頻率 S_n/n，常用來做為p之估計量。投擲前，S_n/n為一隨機變數，投擲後，得到S_n的觀測值，也就有了估計值。設n=10，S₁₀=6，則p之估計值為0.6。若另一天，重來一遍，投擲數n仍為10，而S₁₀=5，則p之估計值便為0.5。因S_n是一隨機變數，即使用同一銅板，及採相同的n，每次所得的S_n並不盡相同，估計值是會變的。S_n=k之機率為

P(S_n=k)=C(n,k)p^k(1-p)ⁿ^-k，k=0, 1, 2,…, n。

給定一信心水準，如95%，然後找一d＞0，使得以S_n/n為中心點，半徑為d的區間，即(S_n/n-d,S_n/n+d)，涵蓋p的機率為0.95，則此區間便是p之一95%信賴區間。若無法找到d＞0，使得前述涵蓋機率剛好是0.95，則找出最小的d，使得涵蓋機率至少是0.95。

一堆有組合數C(n,k)的機率，本就令人頭痛，不知該如何求和。而靈敏的讀者可能也已看出，由於p未知，且d又不能與p有關，所以d根本無法找出。因S_n之期望值為np，標準差為[np(1-p)]^1/2，利用中央極限定理，標準化後的S_n，即(S_n-np)/[np(1-p)]^1/2，當n夠大，便有近似的N(0,1)分佈。再經一些不算太複雜的計算，將得到一個p之近似的95%信賴區間。怎可以有近似？這樣不是不夠準確嗎？這乃沒有辦法中的辦法。在統計估計的過程裡，常會採取近似。而只要樣本數夠大，因採取近似，所產生的誤差，便不至於過大。

給定一信心水準，且採同樣的估計方法，直觀上若樣本數愈大，則信賴區間的長度將愈短。付出更多代價(取樣較多)，總該有些收穫(估計較精準)。有時會先給定信心水準，如0.95(即95%)，及可接受的誤差(信賴區間的半徑)d，如0.03(即3%)，然後倒過來，看樣本數n究竟該多大？

底下來看，在實際應用時，對信賴區間可能會產生那些困惑？

媒體上常會公佈各種民調的結果。於分析討論後，新聞報導裡，常有如下典型的結論：

這次調查於12月16至19日晚間進行，成功訪問了1,023位設籍台北市的成年民眾，另有353人拒訪；在95%的信心水準下，抽樣誤差在正負3.1%以內。調查以台北市住宅電話為母體作尾數兩位隨機抽樣，並依據台北市成年民眾之性別及年齡結構進行加權。

除給出成功訪問之樣本數、拒訪數、信心水準，及抽樣誤差等數據外，還說明樣本如何產生、抽樣的日期，以及有做加權等，即對調查的過程須交待清楚。

高中數學引進信賴區間，主要是因看到抽樣調查，在現今社會的重要。要知為了收集民意，抽樣調查，早已成為許多機構經常在進行的統計工作。至於信賴區間，則是一項抽樣調查的結論中，所不可缺少的。有些學者遂認為，高中生該懂點信賴區間。高中引進概念上不算簡單的信賴區間，已令人心驚膽顫了。而因近似的需要，又引進中央極限定理。此定理即使在大學的機率論裡，都不算淺顯，連不少大學數學系的畢業生，都不甚了了。可說是一不易“做通識性的介紹”之定理，如今卻堂而皇之地進入高中數學了。

數學中的定理，多少需要些條件。高中數學裡所給的中央極限定理，乃最基本的版本，即假設各樣本相互獨立、有共同分佈，且變異數存在。對於銅板，它可以毫無怨言，讓人想投擲幾次都行，且可合理地假設各次投擲間相互獨立，每次有相同出現正面的機率。現假設欲估計某地區成年選民中，對某特定議題之支持率p。乍看之下，此有如想估計銅板出現正面的機率，差別只是以隨機抽樣，收集支持與否的資料，來取代投擲銅板。只是民調與投擲銅板畢竟大不相同，要能成功訪問，得花點功夫，要有些技巧，否則易被拒訪，因此怎可有人二次被抽中？這樣必被抱怨不已。故民調裡的抽樣，一般是“取出後不放回”。但取出後不放回，將導致各樣本間不獨立，中央極限定理因而就不適用了。

取出後不放回，於取了若干個樣本後，其中支持某特定議題之人數，將有超幾何分佈(hypergeometric distribution)，而非二項分佈。有些致力於教學的中學教師，試圖證明當母體總數N(如前述報導中設籍台北市的成年民眾數)趨近至無限大時，其中超幾何分佈的機率值，會趨近至二項分佈的機率值。這便是不時會有的嘗試，所謂證明“超幾何分佈的極限是二項分佈”。只是至今所見到的證明，都是錯的，可參考黃文璋(2011c)一文。事實上，應說若抽取的樣本數n，與母體總數N相比很小，則將取出後不放回，視之為取出後放回，然後將支持的樣本數S_n之分佈，捨超幾何分佈，而用較容易處理的二項分佈來取代，所造成的誤差，便不至於太大。這裡面原本便用到近似了，即以常態分佈來近似標準化後的S_n，現在不過是多了一個近似。

在民調裡，信賴區間的半徑d，常稱為抽樣誤差。雖事先設定為95%的信心水準，及3%的抽樣誤差，換算出成功的樣本數n該有1,068個。若採用電訪，多隻電話同時進行，待結束時，剔除不合格的樣本，則n很難恰好為1,068個。另一方面，若看到有人做的民調，n常剛好是1,068，你可合理地懷疑其中有作假。利用近似公式d=0.98/n^1/2，由獲得之成功樣本數n，便能換算出對應的抽樣誤差d。若n大於1,068，則d將小於3%；若n小於1,068，則d便大於3%。那何以不增加樣本數，以減小抽樣誤差？要知抽樣誤差，若降為原設定的1/3，即1%，則成功樣本數，便須增至9倍，即9,612份。在相同設備下，花的時間將成為9倍。成本大幅增加不說，民意如流水，一項調查若不盡快完成，則因種種事件的發生，將使得民眾對某議題的意見受到干擾。一方面是調查過程中，已用到數個近似，本來就不是那麼精準。另一方面，是人未必說真話，且會改變想法，因此訪問對象是人，與投擲銅板，是截然不同的情況。故與其將精力花在增加樣本數，還不如設法提高調查品質，這包含問卷設計、訪員訓練、抽樣方法、加權方式，及資料分析等流程，如此才能真正有效降低抽樣誤差。

信賴區間裡信心水準的涵義，也常令人感到迷惘。取樣前，信賴區間是一隨機區間，取樣後，則得到一固定的區間。此固定區間，要嘛包含所欲估計的未知量，要嘛就不包含。說有0.95的機率包含，往往令不少人難以理解。要知機率從來不是僅看少數幾次的結果。對同一信心水準，如95%，及同一樣本數，若反覆觀測，便得到很多不同的信賴區間。在這些信賴區間中，將大約有95%個，會包含所欲估計的未知量。就如一銅板出現正面的機率若為0.6，表投擲多次後，其中將約有60%次是出現正面。但若只投擲一次，當然不是出現正面便是反面，不會有0.6次為正面。至於所謂信心(或信賴)，乃指對獲得信賴區間的過程有信心，而非針對所得那一特定區間而言。若將信心水準95%，想成一事件發生的機率為0.95，大致便可了解95%的意義了。至於對不能重複觀測的事件，如前述醫生說某病人能再活2至6個月的機率為0.8，如果長期來說，差不多有80%的病人，的確在醫生所講0.8的區間中過世，那就表示醫生夠專業，估計的不錯，並非信口開河。

本文有部分內容，取自黃文璋(2014)。信賴區間之較詳細的討論，及其中牽涉的一些推導，可參考黃文璋(2007)一文。至於若干機率、中央極限定理，及信賴區間之闡釋，可見黃文璋(2011a)、(2011b)及(2011c)等三文。民國98至101年，那4年學測及指考的數學考題中，有幾題是關於信賴區間，不論題目的敘述或解答，只要可能產生爭議者，我們皆挑出來討論，並彙整成黃文璋(2011d)一文。