有沒有關係？人們常會提到“關係”一詞。生活裡充滿著各種關係，如親子關係、婆媳關係、勞資關係，及國際關係等，這些關係都令人忽視不得。數學中的關係也不少，如相似關係、邊與角的關係、根與係數的關係，及直線和圓的位置關係等。大約從國中起，數學課程裡，便常學到各式各樣的關係。對隨機現象，當有兩個變數時，常需了解二者間之關係。獨立也是一種關係，即兩個變數所取的值，彼此不受影響。當兩變數獨立，它們間的關係便完全確定了。具備獨立性，在執行統計推論時，常方便不少。舉個例子來看。欲估計一銅板出現正面的機率p，不須長考，立刻會想到的，便是投擲若干次，然後用所得正面數的相對頻率，以估計p。此時很自然地，便會假設各次投擲結果為相互獨立。若投擲n次，出現k個正面，但被告知各次投擲間，不見得獨立，則可能便瞠目結舌，不知該如何是好。你可能好奇，獨立性在那裡用到？舉個極端的例子來看。假設銅板有“記憶”，看第一次出現那一面，之後每次投擲，都跟第一次出現的相同。或者另一情境，有位執行實驗者偷懶，只投第1次，自第2次起，全抄第1次的結果。則自第2次起，每次是否出現正面，全依第1次的投擲結果而定，所以各次得到正面的機率，跟第1次相同，皆仍是p。如此k不是0便是n，於是不論p之實際值為何，其估計值必為0或1。一旦去掉獨立性的假設，便可能得到這種很荒謬的估計。在執行統計推論前，總要先取樣，很多方法都是基於各樣本為獨立。
常聽到“龍生龍，鳳生鳳，老鼠生兒會打洞”，由於遺傳，兒子身高與父親身高之間應有關係，少有人覺得可假設父子身高為獨立。又不論經由推薦甄選，或申請入學，很多大學校系會採計學測的英文成績。既然重視英文，那英文成績，與入學後的學業成績，總該有些關係吧！若有，關係為何？至於數學學測成績，與入學後的學業成績之關係呢？有時兩變數間，直觀上不像會獨立，覺得該會有些關係，但如何度量兩變數間之關係？對單一變數，若知道平均值(期望值)及變異數，則對此變數的集中及散佈情況，便能略有概念。二變數呢？如何以某些關鍵值，來表示兩者間之關係？
前面提到遺傳，眾所皆知，子女的各種特徵，多少會受到父母之影響。但遺傳的影響，究竟有多大？十九世紀時，不少英國統計學家，被此問題所吸引，很想弄清楚。他們陸續收集了大量有關家族成員之數據。高爾頓，這位達爾文(Charles Robert Darwin，1809-1882)的表弟，與表哥同樣興趣廣泛，他跟學生皮爾生，兩人便曾聯手探討子女跟其父母的相似程度。皮爾生將所獲得的1,078對父子的身高，標示在x-y座標平面上，以x軸代表父親身高，y軸代表兒子身高。由於尚有母親等因素的影響，可想見父親身高相同者，兒子身高並不一定相同。即同一x值，圖形上可能會有好幾個不同的點。1,078個點，散佈在直線x=y附近。那些點，有點像是順著x=y直線往右上方爬升。在比較靠近直線處，點較密集；若偏離x=y直線，則點較稀疏。雖高父偶有矮子，矮父也偶有高子。但大致看起來，較大的x值，對應較大的y值，且較小的x值，對應較小的y值。用統計術語來說，父子身高間，有正關聯(positive association)。即隨著x之變大，y亦有變大的傾向。印證人們一直以來的印象：父親高，兒子也較可能高；父親矮，兒子便高不到那裡去。但同一x值，所對應的y值，仍可能有不小的變異。換句話說，雖父子身高間，似乎有正關聯，但關係不見得很強。這也是我們平常的印象，由於每人成長過程之不同，因此對170公分高的父親，有180或165公分的兒子，甚至看到兄弟身高、體重，或智商，相差很多，都不會太驚訝，覺得就是有可能。著名的神魔小說“封神演義”，一般看法完成於明朝，但作者到底是那一位，至今仍沒有定論，說法不一。在此書的第三十二回裡，有句“一母之子，有賢愚之分；一樹之果，有酸甜之別。”可見人們很早便理解，遣傳的影響並非那麼絕對。
如何度量兩變數間的關係？脫胎自老師高爾頓之一類似的概念，皮爾生引進相關係數(correlation coefficient，有時只稱correlation)，以量測兩變數間之關係。或者更明確地說，量測兩變數間之線性相關性(linear correlation)。關係有很多種，相關係數乃呈現兩變數線性關係的強度及“方向”。相關係數取值介於-1至1間。若取正值，兩變數便稱正相關；若取負值，兩變數便稱負相關；而當相關係數為0，則稱兩變數無相關(uncorrelated，或稱no correlation)，可說是一相當實用的“度量器”。如同函數裡的線性函數，線性關係是一很簡單的關係。加上前述符合度量需求的性質，因此自皮爾生提出後，不只在統計裡，即使在很多科學的領域，都廣被採用來量測兩變數的線性相依程度。由於是皮爾生所首創，且為有別於統計裡其他不同定義的相關係數，此處介紹的相關係數，又稱為“皮爾生相關係數”(Pearson’s correlation coefficient，又稱Pearson’s r)。不過底下我們凡提到相關係數，都是指皮爾生相關係數。
假設有兩個隨機變數X，Y，其共變異數(covariance) Cov(X,Y)，與兩變數的標準差σX，σY之商，便是相關係數。在此
Cov(X,Y) = E[ (X-μX)(Y-μY) ] = E(XY) - μX μY，
其中μX及μY，分別為X，Y之期望值。若以希臘字母ρ表X與Y之相關係數，則便有
ρ=Cov(X,Y)/σXσY=E[(X-μX)(Y-μY)]/σXσY=E[((X-μX)/σX)．((Y-μY)/σY)]。
由上式知，相關係數即兩隨機變數經標準化後，乘積之期望值。由於標準化後之隨機變數，期望值為0，標準差為1，所以相關係數，可視為兩隨機變數標準化後之共變異數。又若有幾個不同的隨機變數，為了區隔起見，可以ρ(X,Y)，或ρX,Y，表X與Y之相關係數。兩隨機變數X，Y的相關係數要能存在，先決條件是X與Y之期望值皆要存在，及兩變異數都要存在且都不能為0。什麼情況下，變異數會等於0呢？表隨機變數為一常數，或者講精準一點，隨機變數為一常數的機率為1。反之，既然取常數值，這種隨機變數便沒有變異，故其變異數為0。直觀上這都是對的。甚至，常數隨機變數，與任一隨機變數之共變異數亦為0。這不難看出:當X為常數，則μX=X，故X-μX=0。由於變異數為0，故對常數隨機變數，我們不定義它與其他隨機變數之相關係數。
可看出Cov(X,X)=Var(X)。即自己跟自己的共變異數，就是變異數。因此共變異數的概念，乃變異數之推廣。如果變異數，是用來度量一隨機變數偏離期望值的程度，則共變異數，便能度量二隨機變數同時偏離各自期望值的程度。若X>μX時，較可能使Y>μY，且若X<μX時，較可能使Y<μY，也就是說X與Y，有同時增大或同時減小之傾向，則(X-μX)(Y-μY)便較可能是正的，因而它的期望值Cov(X,Y)也就較可能為正。我們只說“較可能”，因畢竟仍得精算一下才知正負。反之，若較大的X，有伴隨較小的Y之傾向，且較小的X，有伴隨較大的Y之傾向，則(X-μX)(Y-μY)便較可能是負的，因而它的期望值Cov(X,Y)將較可能為負。也就是Cov(X,Y)之正負，能反映X與Y之增長方向，究竟傾向相同或相反。由於標準差乃取正值，所以相關係數與共變異數符號相同，且二者同時為0，或同時不為0。因此相關係數是否為正，便也顯示X與Y之增大與減小傾向，是否相同。若X，Y，Z，分別表數學、自然，及國文的成績，我們大概會預期ρ(X,Y)>0，但就不太確定ρ(X,Z)之正負了。
我們說過，共變異數是用來度量二隨機變數X與Y，同時偏離各自期望值的程度。但與變異數類似，它有一缺點，即其值與所採用的尺度有關。例如，對於父與子身高的共變異數，身高單位採用公分，與採用公尺，前者之共變異數為後者之1萬(=1002)倍。不過一旦除以兩標準差後，所得之相關係數，這種困擾立即消除。相關係數ρ，永遠取值在區間[-1,1]，當ρ很接近0，表X與Y的線性關係較弱；而當ρ很接近1或很接近-1，表X與Y有較強的線性關係。事實上，當ρ=1，或-1，X與Y便有完美的線性關係，或者說X與Y為完全相關(completely correlated)。即對二隨機變數X與Y，若ρ=1，則存在常數a，b，其中a>0，使得P(Y=aX+b)=1；若ρ=-1，則存在常數a，b，其中a<0，使得P(Y=aX+b)=1。上述這些性質之證明，均可見黃文璋(2010)一書之2.9節。
另外，當X與Y獨立時，Cov(X,Y)=0，因而ρ(X,Y)=0。但其逆不真。也就是說，共變異數(或相關係數)為0，即兩隨機變數為無相關，並不導致二變數獨立。而且，二隨機變數即使無相關，也不表二者沒有關係。很容易可找到關係絕對密切的兩隨機變數，其相關係數卻為0。可參考黃文璋(2007)一文之例4及例5。還是要提醒讀者一點，相關係數雖說是量測二隨機變數之關連程度(degree of association)，但主要是反映二隨機變數間，線性關係之強度及正負，而非反映任何其他關係。
若有數據(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，且分別以`x，`y表其平均值，則其相關係數，一般表示成r，定義為
r = [Σn i=1(xi-`x)(yi-`y)]/[(Σn i=1(xi-`x)2)1/2(Σn i=1(yi-`y)2)1/2]，
其中大寫希臘字母Σ，如同一般，表和的記號。例如，設有數據(1,5), (3,9), (4,7), (5,1), (7,13)，則`x=4，`y=7，且
(1-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(7-4)2=20，
(5-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(1-7)2+(13-7)2=80，
(1-4)(5-7)+(3-4)(9-7)+(4-4)(7-9)+(5-4)((1-7)+(7-4)(13-7)=16。
故得
r = 16/(20．80)1/2=0.4，
曾有報導，同卵雙胞胎，若性別相同，身高的相關係數高達0.95，這乃可以預期。至於教育程度與收入的相關係數就不太高了，可能在0.3與0.4間。讀書在於變化氣質，若財富未隨之而來，並不必訝異。不論大小，上述二者都是正相關。至於婦女的教育程度與小孩數，大約便會是負相關了。我們藉圖1來說明當相關係數為正、負或0時，圖形之變化。所觀測到的數據(x1,y1)，…，(xn,yn)，若大部分都落在區域I及III，則r將為正(正相關)；若大部分都落在區域II及IV，則r將為負(負相關)；若散佈在I，II，III，IV等四個區域，則r將接近0(無相關)。
參考文獻
1. 黃文璋(2007). 統計裡的關係. 數學傳播季刊, 31(1): 49-67.
2. 黃文璋(2010). 機率論, 第二版, 464頁. 華泰文化事業股份有限公司, 台北市.
