一函數只要不是負的，且在取值範圍內之積分為1，便是一機率密度函數。雖如果願意，學過一年微積分者，短時間內，便可造出許多機率密度函數。但若根本說不出有何用途，則絕大部分，終究只能與草木同朽，無人理會。經由極限，也是一產生機率密度函數的途徑。從十八世紀的棣美弗起，接著十九世紀早期的拉普拉斯，將一有參數n，p之二項分佈的隨機變數Sn，經由標準化，得到其極限分佈有如下之機率密度函數：
φ(x) = exp(-x2/2σ2) / (2π)1/2，
其中x可為任意實數。後人稱有此機率密度函數的分佈，為標準常態分佈，且以符號N(0,1)表之。符號中的N，當然是取自常態(normal)一詞英文之第一個字母。至於一般參數為μ，σ2之常態分佈，其中σ>0，則以N(μ,σ2)表之。起先人們以為，φ(x)只不過是一機率密度函數而已，可用來估算n很大時，Sn會落在某一區間的機率。但有二項分佈的Sn，總是描述諸如投擲一銅板n次後，所得之正面數。那個時代，也沒太多會碰到n很大的機會。至於此分佈還有沒有其他用途？起先也看不太出來，既然如此，很多人便將它束之高閣。
大約在1870年左右，奎特雷靈光一閃，將標準常態分佈的曲線，當做一理想的直方圖，然後將經由不同管道，所收集到各類數據的直方圖，與之相比，結果不少相當吻合。於是常態分佈有如鹹魚翻身，自此廣受重視。至於奎特雷為何會看上標準常態分佈？他並非突發奇想，而是留意到，許多收集到的數據，其直方圖，都呈現中間高，然後往兩側下降。換句話說，若不管原點及尺度，那些直方圖的形狀，常都如圖2。
圖5給出N(μ,σ2)分佈之機率密度函數及其圖形，這也是往昔在德國10馬克上，陪伴著高斯的圖。常態分佈有很多特性，像是兩個獨立的隨機變數，若皆有常態分佈，則其和仍為常態分佈，而參數就是對應的參數各自相加。就算二者並不獨立，只要有兩變數的常態分佈，則不只是相加，連線性組合，也仍是常態分佈，不過參數的表示，就略複雜些。至於其他分佈的線性組合，常變成看不出名堂的怪分佈。此特性亦為常態分佈能頻繁出現之一原因。
常態分佈除了屢能充當數據的模型外，還使用方便。首先，若隨機變數X有N(μ,σ2)分佈，則X之期望值及變異數，分別就是μ及σ2，標準差則是σ。當然，標準常態分佈N(0,1)的期望值及變異數(標準差)，分別就是0及1。當我們畫一條直線，取一點當做0，再取一長度當做1，如此即得到一條數線。從0往右，是1，2，…，往左是-1，-2，…。至於0的位置在那裡？1到底多長？你知道根本無關緊要。若兩人各畫一條數線，只要將原點(即0的位置)對齊，以及適當地調整尺度(單位長)，兩條數線上的數字，便完全重疊了。生活裡，將圖形做位置與尺度的改變，乃所在多有。像準備興建的那棟建築，蓋出來會是什麼樣子？建築師講得口沫橫飛，仍難使人有概念。提供一個縮小的模型，便一目瞭然了。對有N(μ,σ2)分佈的隨機變數X，將X經過平移，以及尺度的變換。更明確地說，將X標準化，即減去期望值μ後，再除以標準差σ。以Z表標準化後的X，即Z=(X-μ)/σ，則很輕易便能證出，Z有N(0,1)分佈。所以N(μ,σ2)與N(0,1)分佈之圖形，本質上就是平移加上尺度變換。有些分佈，只要參數一改變，機率密度函數之圖形，便與原來的迥然不同。但腸態分佈，不論參數為何，毫無例外，就是那一個鐘形。
舉個例子來看。假設X有N(5,16)的分佈，想求X£8之機率。先由X£8，得到Z=(X-5)/4£(8-5)/4=0.75，所以變成要求P(Z£0.75)，其中Z有N(0,1)分佈。該可以看出來了，隨機變數只要有常態分佈，要求與它有關的機率，皆可轉換成求與標準常態分佈有關的機率。這是一極大的方便。一般統計學的教科書，附錄中都有若干常用分佈之機率值表。有些分佈，不同參數便有不同的表，連續好幾頁都是此分佈的表。但常態分佈，雖有兩個參數，但只要給一個N(0,1)分佈的表便可以了，簡單明瞭。任一常態分佈，不論參數為何，一旦經標準化後，全轉化成N(0,1)。一個N(0,1)，就可概括全部常態分佈。
設Z有N(0,1)分佈。期望值0是核心，偏離情況如何？標準差是1，Z偏離期望值不到1個標準差的機率，即Z取值在正負1間的機率P(|Z|£1)，可求出約0.6827；而Z偏離期望值不到2個標準差的機率P(|Z|£2)，其值約0.9545，至於Z偏離期望值不到3個標準差之機率P(|Z|£3)，則約0.9973。Z偏離期望值2個標準差以上之機率P(|Z|>2)，才約1-0.9545=0.0455，不到5%；要偏離期望值3個標準差以上之機率P(|Z|>3)，就小到約1-0.9973=0.0027，不到0.3%。又如前所述，只要X有N(μ,σ2)分佈，經標準化後，(X-μ)/σ，便有N(0,1)分佈。因此任一有常態分佈之隨機變數，距期望值不超過1，2，3個標準差之機率，分別約為0.6827，0.9545，及0.9973。這3個機率，有時就概略地以0.68，0.95，及0.997表之。要注意的是，前述機率只適用於常態分佈。若非常態分佈，則隨機變數取的值，距期望值不超過1，2，3個標準差之機率，就完全另當別論了，視不同分佈而定。不可不求甚解，囫圇吞棗地，將機率0.6827，0.9545，及0.9973套到任何分佈，還以為這是什麼68-95-99.7法則。
如黃文璋(2013)一文所指出，運動選手有時表現會被評為“失常”、“大失常態”，或“一反常態”等。假設選手的表現能以常態分佈當模型，有某個期望值及某個標準差。不是機器人，選手成績無法一成不變，表現在期望值左右，雖有波動，總在1、2個標準差之內，大家習以為常，也視此為“正常”情況。一旦表現向下超出太多，譬如說2個標準差，自然讓人很訝異，便覺“失常”，說跌破眾人眼鏡。由對稱性，會向下超出2個標準差之機率，約0.0455之半，即約0.02275，2%多的機率，的確夠小。國際網球比賽，偶有排名在後的選手，過關斬將，最後奪得冠軍。這也是一種“失常”，表現向上超出幾個標準差，只是機率當然也是很小。失常不一定都不好，要看向上還是向下。大部分的比賽，結果會符合常態，即由排名在前的選手奪冠。運動場上，看到超過好幾個標準差的“不正常”事件發生，所謂大爆冷門，有人以為中邪了嗎？但如同巨數法則所指出，只要樣本數夠大，以為“不可能”的事件出現，其實一點都不必驚訝。經年累月的比賽下來，有選手“大失常態”，完全是正常的。
教室的課桌椅，及各種公共設施，通常是為“正常”身高的學生所設計。因此過高或過矮，坐起來可能都不太舒服。沒辦法，雖叫你的身高“不正常”。真那麼高或矮到“不正常”嗎？倒也不見得，跟長頸鹿比算是矮的，跟貓比則如巨人。智商很高或很低，體能很好或很差，很擅長或很不擅長書法，都是“不正常”。正常情況下，每個人都有些不正常的特質，可能落在上方，可能在下方。不同時代重視不同的特質，因而造成有人得意，有人不得意。若對現況不滿意，與其怨天尤人，還不如往你特質能發揮的地方發展。東漢時，出身書香門第的班超(32-102)，本來為官府抄寫書籍，過著一般人以為正常的生活。後來他對整天抄抄寫寫，感到厭煩無比，毫無成就感。不幹了，投筆從戎。不坐辦公室，寧可去開疆拓土。在西域大漠，過著餐風露宿，一般人以為不正常的日子，最後成為一代名將。
考試的滿分成績，不見得是100分，有60，80，120，…，不一而足。而且視考題難易，若僅說“比平均多10分”，並不知究竟有多好？因若標準差是4分，則多10分就是比平均高出2.5個標準差，算是很優異；若標準差是20分，則比平均不過高0.5個標準差，表現只能算差強人意。通常會將成績標準化，即將成績減去平均值後除以標準差。大型考試，若假設成績有常態分佈，則經標準化後的分數，即使不同次的考試，甚至不同科目，也都可相互比較了。但要注意，常態分佈，雖常可拿來當數據的模型，但也非通行無阻，使用前仍宜做個檢定。例如，有時會看到主辦考試的單位說，這次英文成績有“雙峰”(或說M型)。也就是成績兩極化，比較高分與比較低分，各有群聚。此時顯然便不宜以常態分佈當成績的模型了，因常態分佈僅有“單峰”。
常態分佈尚有不少好的性質，我們所介紹，僅是皮毛而已。有興趣的讀者，可翻閱一般的機率與統計書籍。
參考文獻
1. 黃文璋(2013). 正常與不正常. 黃家小館(http://huang.nuk.edu.tw/cindex.htm).
