某人練習射擊，目標是紅心。有時右偏有時左偏，誤差不小，他卻說“平均命中紅心”。平均不是數據的代表值嗎？他以為他就是告訴人射擊結果的代表值。聽者很狐疑，只不過是一正一負消掉了，這樣算準嗎？顯然只知平均命中紅心並不夠，究竟偏離紅心多遠呢？令人好奇。兩腳各泡在一水桶，右腳水溫攝氏0度，左腳80度。會因平均40度，與溫泉泡湯的水溫差不多，而感到舒服嗎？恐怕未必，一腳很冰，一腳燙極了，連半分鐘都受不了。假設有兩組學生，各有3人。考完試兩組的平均都是60分，但第一組3個分數是61，60，59；第二組3個分數是90，60，30。雖平均相同，但第一組3人分數接近，第二組3人分數相差很多。大概不會因平均分數相同，而將兩組學生歸為同一類型。
收集到一些數據後，一旦算出平均值或中位數，對數據的“大小”，通常能略有些概念。不論平均值或中位數，都像數據的“核心”。數據或剛好等於核心，或散佈在核心的左右，有些較大，有些較小。如何度量散佈程度？全距及四分位距，都能扮演讓人了解數據到底散佈多廣的角色。班上最高與最矮身高之差為全距，代表全班學生的身高橫跨多大範圍。另外，有時會看到諸如“XX集團董事長XXX表示，在未來的投資機會中，應該重點投資和中產階級生活方式相關的行業”之報導。中產階級，不是很有錢，也不算很窮，收入居中。這群人，不論在政治或經濟上，都令人重視。第三四分位數減去第一四分位數，所得之四分位距，便代表扣除兩端，中間一半的數據，所橫跨範圍之大小，此量也常令人感到興趣。除了全距及四分位距外，還有一很重要，量測散佈程度的量，那就是標準差(standard deviation，又稱標準離差，或均方根差)。如果視平均值為數據的核心，標準差便是提供數據偏離此核心多遠的一個量。前面已舉了一些例子，以說明在某些情況下，光知道平均值，可能對數據仍覺模糊。標準差，便具備讓人了解數據對平均值之散佈程度的功能。
每一數據減去平均值，便是數據對平均值之離差(deviation，或說誤差)。而標準差即“數據對平均值之離差的平方之平均的正平方根”。假設有1，2，3，4，5等5數，則平均值為3。分別求出各數對平均值之離差，得-2，-1，0，1，2。先求平方，得4，1，0，1，4。再求其平均，得(4+1+0+1+4)/5=2。開根號得標準差=21/2，約為1.414。再看前述兩組學生之例。分數61，60，59那組，平均成績是60分，標準差=(2/3)1/2分，約為0.816分；至於分數90，60，30那組，平均成績仍是60分，而標準差=6001/2分，約為24.495分，是前者之30倍。第一組程度接近，第二組則程度差異不小。第二組的任課教師，可能會煩惱該如何教學。
對數字較敏銳者，說不定會好奇，為何不以“數據對平均值之離差的絕對值之平均”，來度量數據對平均值之散佈度？省去求標準差時，先平方再開根號之多此一舉。首先，由於先平方再開根號，因此標準差的單位(如分，公斤等)，與原有數據相同，這是我們希望的。其次，如同數據的代表值可有不同的量，像是平均值、中位數，及眾數等，“數據對平均值之離差的絕對值之平均”，也是數據對平均值之散佈度的另一種度量法，有其意義，是有人採用。若依此定義，對於1，2，3，4，5等5數，將得(2+1+0+1+2)/5=1.2一值做為數據對平均值之散佈度，比標準差21/2小些。這新的定義，看起來讓計算較簡單，尤其當數據較大量時。不過一方面，數學上處理絕對值的運算，通常比平方麻煩許多；另一方面，標準差有很多好的性質。因此在統計學裡，仍大多以標準差，來表示數據對平均值之散佈度。
標準差的平方，即“數據對平均值之離差的平方之平均”，即不開平方了，便稱數據的變異數(variance)，也是一常用的量。平均值是數據的平均，變異數則為數據與平均值之距離的平方之平均，兩者都是平均。假設有n筆數據x1，x2，…，xn，且以`x表其平均值，即`x=(x1+x2+…+xn)/n。則
((x1-`x)2+(x2-`x)2+…+(xn-`x)2)/n
為變異數；開根號後，即得標準差
( ((x1-`x)2+(x2-`x)2+…+(xn-`x)2)/n )1/2。
如有1，1，1，1，1等5數，則平均值等於1，且易見標準差等於0，因此變異數也是0。常數數列(即所有數據都相等)沒有變異，所以其標準差與變異數都是0。除了常數數列外，數據之標準差與變異數都是正的。數據若都相距不遠，即變異不太大，則標準差與變異數便都較小。變異較大的一組數據，標準差與變異數便都較大。數據若平移，譬如都加一定值a，也就是原本的x1，x2，…，xn，改為x1+a，x2+a，…，xn+a，則平均值由原本的`x變成`x+a。而因在求離差時，a消掉了，所以標準差及變異數都不變。又若每一數據都乘上一定值b，則平均值由原本的`x變成b`x，至於標準差則成為b倍，變異數成為b2倍。
既然是量測離差，那標準差是否愈小愈好？如果是涉及產品品質，標準差當然要儘量小。例如，螺絲規格，若宣稱直徑8mm，則平均值不但最好是8mm，標準差也該小到很接近0。其他如血壓計、體重計也都一樣，儀器顯示值之標準差，都該愈小愈好，否則起伏不定，便不知如何採信。但若是如基測或學測這類大型考試，考生成績之標準差就不宜太小。標準差過小，表成績太集中，如此便不太能鑑別出考生程度之差異。事實上，在教育體系裡，不見得強調變異要小。若管理嚴格，限制較多，學生照表操課，則學生的學習成效，可能多半能達到一定的水準，且變異較小。但因能自由發揮的機會被削減了，創意可能因而被壓抑。反之，若採較開放的作風，則天資聰穎者，在比較自由的環境下，較能創造發明。但資質不佳，或較不知自我要求者，有可能便庸庸碌碌，所學有限。在開放的環境下，學生的學習成效，通常變異較大。至於變異大與變異小，那種環境較佳？就因人而異了。
考完試，常會給出成績之平均值及標準差。對大型考試，如果題目設計良好，成績大致有常態分佈，以平均值為中心。對於常態分佈，成績不超過平均值一個標準差的考生，約佔68%；不超過平均值兩個標準差的考生，約佔95%。例如，假設平均為63.5分，標準差為10.7分，則約有68%的考生，成績介於52.8至74.2分間；約有95%的考生，成績介於42.1至84.9分間。成績超過平均值兩個標準差的考生，便有5(=100-95)%。由於常態分佈的曲線以平均值為中心，左右對稱，所以成績若在84.9分之上，表示他考在前2.5%(5%之半)，相當優異；若在42.1分之下，表示他考在後2.5%，算是很差的。標準差與平均值，是了解數據之兩個很關鍵的量。
